课时提升作业(四十二)直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2022·珠海模拟)在空间中,l,m,n,a,b表示直线,α表示平面,则下列命题正确的是( )A.若l∥α,m⊥l,则m⊥α B.若l⊥m,m⊥n,则m∥nC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若l⊥α,l∥a,则a⊥α【解析】选D.对于A,m与α位置关系不确定,故A错,对于B,当l与m,m与n为异面垂直时,m与n可能异面或相交,故B错,对于C,也可能b⊂α,故C错,对于D,由线面垂直的定义可知正确.2.若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥αB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥βC.若m⊥β,m∥α,则α⊥βD.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ【解析】选C.两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直,故A为假命题;以三棱柱的侧面和侧棱为例知B为假命题;若α⊥γ,α⊥β,则β与γ相交,或β∥γ,故D为假命题;若m∥α,则α中必存在直线l与m平行,又m⊥β,所以l⊥β,故α⊥β,故选C.3.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则( )A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直【解析】选C.如图,在平面β内的直线若与α,β的交线a平行,则有m与之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线,只有当α⊥β时才存在.【误区警示】本题易由于空间想象不全,漏掉情况而误选.4.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是( )A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAE-9-\nC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDE⊥平面ABC【解析】选D.因BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,A成立;易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.【加固训练】如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( )A.AD⊥平面BCDB.AB⊥平面BCDC.平面BCD⊥平面ABCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】选D.在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC,从而平面ABC⊥平面ADC.5.(2022·温州模拟)如图所示,AB是☉O的直径,VA垂直于☉O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是 ( )A.MN∥ABB.MN与BC所成的角为45°C.OC⊥平面VACD.平面VAC⊥平面VBC【解题提示】根据题设条件逐个结论验证,作出判断.【解析】选D.对于A,MN与AB异面,故A错,对于B,可证BC⊥平面VAC,故BC⊥MN,所以所成的角为90°,因此B错;对于C,OC与AC不垂直,所以OC不可能垂直平面VAC,故C错;对于D,由于BC⊥AC,因为VA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以VA⊥BC,因为AC∩VA=A,所以BC⊥平面VAC,BC⊂平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC,故D正确.-9-\n二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是 (填序号).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABC⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.【解析】由AB=CB,AD=CD,E为AC中点,知AC⊥DE,AC⊥BE,又DE∩BE=E,从而AC⊥平面BDE,故③正确.答案:③【误区警示】本题易由于只凭主观观察而不进行严格推理论证而误选.7.(2022·天津模拟)已知不同直线m,n与不同平面α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是 个.【解析】①平行于同一平面的两直线不一定平行,所以①错误.②根据线面垂直的性质可知②正确.③根据面面垂直的性质和判断定理可知③正确,所以真命题的个数是2个.答案:28.(2022·长春模拟)如图所示,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,下列说法正确的是 (填上所有正确的序号).①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC;②不论D折至何位置都有MN⊥AE;③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.【解析】取AE的中点F,连接MF,NF,则MF∥DE,NF∥AB∥CE,从而平面MFN∥平面DEC,故MN∥平面DEC,①正确;又AE⊥MF,AE⊥NF,所以AE⊥平面MFN,从而AE⊥MN,②正确;又MN与AB是异面直线,则③错误.答案:①②三、解答题(每小题10分,共20分)-9-\n9.(2022·唐山模拟)如图所示,△ABC和△BCE是边长为2的正三角形,且平面ABC⊥平面BCE,AD⊥平面ABC,AD=2,(1)证明:DE⊥BC.(2)求三棱锥D-ABE的体积.【解析】(1)取BC的中点为F,连接AF,EF,BD,因为△BCE是正三角形,所以EF⊥BC,又平面ABC⊥平面BCE,且交线为BC,所以EF⊥平面ABC,又AD⊥平面ABC,所以AD∥EF,所以D,A,F,E共面,又易知在正三角形ABC中,AF⊥BC,AF∩EF=F,所以BC⊥平面DAFE,又DE⊂平面DAFE,故DE⊥BC.(2)由(1)知EF∥AD,所以有VD-ABE=VE-DAB=VF-DAB=VD-ABF,而S△ABF=BF·AF=.所以VD-ABF=S△ABF·AD=1,即VD-ABE=1.10.(2022·厦门模拟)如图1,已知ABCD为平行四边形,∠A=60°,AF=2FB,AB=6,点E在CD上,EF∥BC,BD⊥AD,BD与EF相交于N.现将四边形ADEF沿EF折起,折后如图2,满足平面ABCD⊥平面BCEF.(1)求证:BD⊥EF.(2)求三棱锥D-NBF的体积.-9-\n【解析】(1)由BD⊥AD,EF∥BC,得BN⊥EF,DN⊥EF,由BN交DN于N,所以EF⊥平面DNB,所以EF⊥BD.(2)由EF⊥BD,EF∥BC,则BD⊥BC,因为平面ABCD⊥平面BCEF,所以BD⊥平面BCEF,所以D到平面BNF的距离等于BD,所以VD-BNF=S△BNF·BD=,即所求三棱锥的体积为.【加固训练】(2022·太原模拟)在边长为5的菱形ABCD中,AC=8.现沿对角线BD把△ABD折起,折起后使∠ADC的余弦值为.(1)求证:平面ABD⊥平面CBD.(2)若M是AB的中点,求三棱锥A-MCD的体积.【解析】(1)在菱形ABCD中,记AC,BD的交点为O,AD=5,OA=4,所以OD=3,翻折后变成三棱锥A-BCD,在△ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=25+25-2×5×5×=32,在△AOC中,OA2+OC2=32=AC2,-9-\n所以∠AOC=90°,即AO⊥OC,又AO⊥BD,OC∩BD=O,所以AO⊥平面BCD,又AO⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面CBD.(2)因为M是AB的中点,所以A,B到平面MCD的距离相等,所以VA-MCD=VB-MCD=VA-BCD=S△BCD·AO=8.(20分钟 40分)1.(5分)(2022·杭州模拟)已知l,m为不同的直线,α,β为不同的平面,如果l⊂α,且m⊂β,那么下列命题中不正确的是( )A.“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件B.“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件C.“m∥α”是“l∥m”的充要条件D.“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件【解析】选C.对于A中命题由“l⊥β”可得“α⊥β”,但反之不一定,故A中命题正确;对于B中命题,“l⊥m”不一定有“l⊥β”,但反之成立,故B中命题正确;对于C中命题,因为m∥α⇒l∥m或l与m为异面直线,所以“m∥α”l∥m,故C错误;对于D中命题,“l⊥m”“α⊥β”,反之亦然,故D中命题正确.【加固训练】(2022·太原模拟)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题中不正确的是( )A.若m∥n,m⊥α,则n⊥αB.若m⊥α,m⊂β,则α⊥βC.若m⊥β,m⊥α,则α∥βD.若m∥α,α∩β=n,则m∥n【解析】选D.选项A是线面垂直的性质定理;选项B是两个平面垂直的判定定理;选项C是两个平面平行的判定方法之一;选项D中,若m∥α,α∩β-9-\n=n,则只能得到m,n没有公共点,于是m∥n或m,n异面.2.(5分)(2022·沈阳模拟)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是 .【解题提示】根据题设条件逐个验证命题的真伪,从而作出判断.【解析】连接BD交AC于O,连接DC1交D1C于O1,连接OO1,则OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥P-AD1C的体积不变.又=,所以①正确.因为平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确.由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正确;由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.答案:①②④3.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF= 时,CF⊥平面B1DF.【解析】由题意易知B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.令CF⊥DF,设AF=x,则A1F=3a-x.由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得=,即=,整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a或x=2a.答案:a或2a4.(12分)(2022·烟台模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1-9-\n=2,E,F分别是棱B1C1,B1B的中点,H在棱CC1上,且AB⊥AH.(1)求证:AB⊥平面AA1C1C.(2)求三棱锥A1-B1EF的体积.【解析】(1)因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AB.又因为AB⊥AH,AA1∩AH=A,所以AB⊥平面AA1C1C.(2)由(1)知:∠B1A1C1=90°,因为AB=AC=1,所以=×1×1=.因为E,F分别是棱B1C1,B1B的中点,BB1=2.所以==,B1F=1.又因为BB1⊥平面A1B1C1,所以=·B1F=××1=,所以三棱锥A1-B1EF的体积为.5.(13分)(能力挑战题)如图,已知几何体的底面ABCD为正方形,AC∩DB=N,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,PD=CD=2EC=2.(1)以AD为正视方向,求该几何体正视图的面积.(2)求异面直线AC与PE所成角的余弦值.(3)平面PBD与平面PBE是否垂直?若垂直,请加以证明;若不垂直,请说明理由.【解析】(1)几何体正视图面积即直角梯形PDCE的面积,所以S=×(1+2)×2=3.(2)取PD中点F,连接FC,FA,则CF∥PE,-9-\n所以∠FCA为异面直线AC与PE所成角,因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC,所以AF=CF=,又AC=2,所以在△FCA中cos∠FCA==,即异面直线AC与PE所成角的余弦值为.(3)平面PBD⊥平面PBE,证明如下:取PB中点M,连接EM,MN,则MN∥PD且MN=PD,又EC∥PD且EC=PD,所以MN∥EC且MN=EC,所以MNCE为平行四边形,所以EM∥CN,因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥CN,又在正方形ABCD中CN⊥BD,PD∩BD=D,所以CN⊥平面PBD,所以EM⊥平面PBD,因为EM⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PBD.-9-
