课时提升作业(五十八)直线与圆的位置关系一、选择题(每小题6分,共18分)1.如图,已知AB是☉O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交☉O于C,若AP=4,PB=2,则PC的长是( )A.3B.2C.2D.【解析】选B.如图,延长CP,交☉O于D,因为PC⊥OP,由垂径定理可得,PC=PD,由相交弦定理得,PA·PB=PC·PD=PC2,又由AP=4,PB=2,所以PC=2.故选B.2.(2022·石景山模拟)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,以BC为直径的圆交AB于D,则BD的长为( )【解析】选D.由题意得AC=3,又AC2=AD·AB,-6-\n3.如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,CD=4,BD=8,则AD的长等于( )A.2B.4C.6D.8【解析】选A.因为AB是圆O的直径,所以AC⊥BC,所以∠B+∠A=90°,因为CD⊥AB,所以∠B+∠DCB=90°,所以∠DCB=∠A,所以Rt△ADC∽Rt△CDB,所以DC2=AD·DB,因为CD=4,BD=8,所以AD==2.二、填空题(每小题6分,共18分)4.(2022·天津模拟)如图,AB是圆O的直径,CD⊥AB于D,且AD=2BD,E为AD的中点,连接CE并延长交圆O于F.若CD=,则EF= .【解析】因为AB是圆O的直径,所以∠ACB=90°.所以CD2=AD·DB.因为AD=2DB,所以CD2=2DB2,因为CD=,所以DB=1,所以AB=AD+DB=3.因为E为AD的中点,所以ED=1.在Rt△CDE中,,由相交弦定理可得:EA·EB=EC·EF,-6-\n所以1×2=EF,所以EF=.答案:5.(2022·黄冈模拟)如图所示,EB,EC是圆O的两条切线,B,C是切点,A,D是圆O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A的度数是 .【解析】EB,EC是圆O的两条切线,所以EB=EC,又因为∠E=46°,所以∠ECB=∠EBC=67°,所以∠BCD=180°-(∠BCE+∠DCF)=180°-99°=81°,因为四边形ADCB内接于☉O,所以∠A+∠BCD=180°,所以∠A=180°-81°=99°.答案:99°6.(2022·梅州模拟)如图,从圆O外一点P引圆O的割线PAB和PCD,PCD过圆心O,已知PA=1,AB=2,PO=3,则圆O的半径等于 .【解析】设半径为r,则PC=PO-CO=3-r,PD=PO+OD=3+r.根据割线定理可得PA·PB=PC·PD,即1×(1+2)=(3+r)(3-r),所以9-r2=3,r2=6,所以r=.答案:三、解答题(每小题16分,共64分)7.(2022·郑州模拟)如图,点A是以线段BC为直径的圆O上一点,AD⊥-6-\nBC于点D,过点B作圆O的切线,与CA的延长线交于点E,点G是AD的中点,连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.(1)求证:BF=EF.(2)求证:PA是圆O的切线.【证明】(1)因为BC是圆O的直径,BE是圆O的切线,所以EB⊥BC,又因为AD⊥BC,所以AD∥BE,可知△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC,所以,因为G是AD的中点,所以DG=AG,所以BF=EF.(2)如图,连接AO,AB,因为BC是圆O的直径,所以∠BAC=90°.在Rt△BAE中,由(1)知F是斜边BE的中点,所以AF=FB=EF,所以∠FBA=∠FAB.又因为OA=OB,所以∠ABO=∠BAO.因为BE是圆O的切线,所以∠EBO=90°.因为∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°,所以PA是圆O的切线.8.(2022·银川模拟)如图,已知AP是☉O的切线,P为切点,AC为☉O的割线,且与☉O交于B,C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.(1)证明A,P,O,M四点共圆.(2)求∠OAM+∠APM的大小.【解析】(1)连接OP,OM,因为AP与☉O相切于点P,所以OP⊥AP,因为M是BC中点,所以OM⊥BC,所以∠OPA+∠OMA=180°,因为圆心在∠-6-\nPAC的内部,所以四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆.(2)由(1)A,P,O,M四点共圆,所以∠OAM=∠OPM.又OP⊥AP,所以∠OPM+∠APM=90°,所以∠OAM+∠APM=90°.9.(2022·邯郸模拟)如图,A,B,C是圆O上三个点,AD是∠BAC的平分线,交圆O于D,过B作直线BE交AD延长线于E,使BD平分∠EBC.(1)求证:BE是圆O的切线.(2)若AE=6,AB=4,BD=3,求DE的长.【解析】(1)连接BO并延长交圆O于G,连接CG,因为∠DBC=∠DAC,又因为AD平分∠BAC,BD平分∠EBC,所以∠EBC=∠BAC.又因为∠BGC=∠BAC,所以∠EBC=∠BGC,因为∠GBC+∠BGC=90°,所以∠GBC+∠EBC=90°,所以OB⊥BE,所以BE是圆O的切线.(2)由(1)可知△BDE∽△ABE,,所以AE·BD=AB·BE,AE=6,AB=4,BD=3,所以BE=.由切割线定理,得BE2=DE·AE,所以DE=.10.如图,E,P,B,C为圆O上的四点,直线PB,PC,BC分别交直线EO于M,N,A三点,且PM=PN.-6-\n(1)求证:∠POA+∠BAO=90°.(2)若BC∥PE,求的值.【解析】(1)过点P作圆O的切线交直线EO于F点,由弦切角性质可知∠NPF=∠PBA,因为PM=PN,所以∠PNO=∠PMA,则∠PNO-∠NPF=∠PMA-∠PBA,即∠PFN=∠BAO.又PF为圆O的切线,故∠POA+∠PFN=90°,故∠POA+∠BAO=90°.(2)若BC∥PE,则∠PEO=∠BAO,又∠POA=2∠PEO,故∠POA=2∠BAO,由(1)可知90°=∠POA+∠BAO=3∠BAO,故∠BAO=30°,则∠PEO=∠BAO=30°,cos∠PEO=,-6-
