课时提升作业(六十)参数方程一、选择题(每小题6分,共18分)1.参数方程(t为参数)与极坐标方程ρ=sinθ所表示的图形分别是( )A.直线、直线 B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线【解析】选B.将参数方程消去参数t得2x-y-5=0,所以对应图形为直线.由ρ=sinθ得ρ2=ρsinθ,即x2+y2=y,即x2+,对应图形为圆.2.(2022·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为( )【解析】选D.由题意可得直线和圆的方程分别为x-y-4=0,x2+y2=4x,所以圆心C(2,0),半径r=2,圆心(2,0)到直线l的距离d=,由半径,圆心距,半弦长构成直角三角形,解得弦长为2.3.已知动直线l平分圆C:(x-2)2+(y-1)2=1,则直线l与圆O:(θ为参数)的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.过圆心【解析】选A.动直线l平分圆C:(x-2)2+(y-1)2=1,即圆心(2,1)在直线l上,又圆O:-5-\n的普通方程为x2+y2=9,且22+12<9,故点(2,1)在圆O内,则直线l与圆O的位置关系是相交.二、填空题(每小题6分,共18分)4.(2022·湖南高考)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 .【解题提示】先确定直线l与曲线C的位置关系,再求直线l的极坐标方程.【解析】曲线C是圆心为(2,1),半径为1的圆,而|AB|=2,所以直线经过圆心,所以直线l的方程为y=x-1,所以直线l的极坐标方程是ρsinθ=ρcosθ-1.答案:ρsinθ=ρcosθ-1,或写成ρ=,5.(2022·天津模拟)已知平面直角坐标系xOy内直线l的参数方程为(t为参数),以Ox为极轴建立极坐标系(取相同的长度单位),圆C的极坐标方程为ρ=,则直线l与圆C的位置关系为 .【解析】将直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程,得x-y-2=0.将圆C的极坐标方程ρ=化为直角坐标方程,得x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2,圆心(1,1)到直线的距离为d=,所以直线l与圆C相切.答案:相切6.(2022·韶关模拟)曲线C1:(θ为参数)上的点到曲线C2:-5-\n(t为参数)上的点的最远距离为 .【解析】曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,曲线C2的普通方程为x+y+(2-1)=0,圆心(1,0)到直线的距离为d=,显然曲线C1上的点到曲线C2上的点的最远距离为3.答案:3三、解答题(每小题16分,共64分)7.(2022·大连模拟)曲线C1的参数方程为(θ为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.(1)求曲线C2和直线l的普通方程.(2)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值.【解析】(1)由题意可得C2的参数方程为(θ为参数),即C2:=1,直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6化为直角坐标方程为x-2y-6=0.(2)设点P(2cosθ,sinθ),由点到直线的距离公式得点P到直线l的距离为所以,故点P到直线l的距离的最大值为2,最小值为.-5-\n8.已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l经过定点P(3,5),倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程.(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.【解析】(1)由曲线C的参数方程(θ为参数),得普通方程为(x-1)2+(y-2)2=16,即x2+y2-2x-4y-11=0.直线l经过定点P(3,5),倾斜角为,直线的参数方程为(t是参数).(2)将直线的参数方程代入x2+y2-2x-4y-11=0,整理,得t2+(2+3)t-3=0,设方程的两根分别为t1,t2,则t1t2=-3,因为直线l与曲线C相交于A,B两点,所以|PA|·|PB|=|t1t2|=3.9.(2022·开封模拟)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的单位长度,建立极坐标系,设曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+5=0.(1)若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围.(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.【解析】(1)将曲线C的极坐标方程ρ2-6ρcosθ+5=0化为直角坐标方程为x2+y2-6x+5=0,直线l的参数方程为(t为参数),将其代入x2+y2-6x+5=0,整理,得t2-8tcosα+12=0.因为直线l与曲线C有公共点,所以Δ=64cos2α-48≥0,所以cosα≥或cosα≤-,因为α∈[0,π],所以α的取值范围是(2)曲线C的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,其参数方程为(θ-5-\n为参数）.因为M(x,y)为曲线C上任意一点,所以x+y=3+2cosθ+2sinθ=,所以x+y的取值范围是.10.(2022·银川模拟)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(1)求点A,B,C,D的直角坐标.(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.【解析】(1)由曲线C2的极坐标方程为ρ=2,所以曲线C2是圆心在极点,半径为2的圆,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为,由对称性得,直角坐标分别为A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(2)由于P为曲线C1上任意一点,得P(2cosφ,3sinφ),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=(2cosφ-1)2+(3sinφ-)2+(2cosφ+)2+(3sinφ-1)2+(2cosφ+1)2+(3sinφ+)2+(2cosφ-)2+(3sinφ+1)2=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,得32≤32+20sin2φ≤52,所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围是[32,52].-5-
