活页作业 几何概型一、选择题1．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是( )A．1 B. C. D.解析：将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0，则所求概率P＝＝.答案：C2．在四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )3．(理)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为( )A. B. C. D.解析：因为f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，所以Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2－π≥0，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为P＝＝＝.答案：B6\n3．(文)在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为( )A. B. C. D.解析：设这两个实数分别为x，y，则，构成的区域是边长为1的正方形，又满足构成的区域如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为1－××＝.答案：A4．已知P是△ABC所在平面内一点，P＋P＋2P＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( )5．(2022·宁波模拟)有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )A. B. C. D.解析：设点P到点O的距离小于1的概率为P1，由几何概型，则P1＝＝＝，故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－＝.答案：B6．(理)(2022·荆州模拟)如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝(x>0)图象下方的区域(阴影部分)，从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为( )6\nA. B.C. D.解析：易知阴影部分的面积S＝×2＋∫1dx＝1＋ln1－ln＝1＋ln2，矩形的面积为2，故所求概率P＝.答案：C6．(文)(2022·北京高考)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A. B. 二、填空题7．已知实数x，y可以在0<x<2,0<y<2的条件下随机地取值，那么取出的数对(x，y)满足(x－1)2＋(y－1)2<1的概率是________．解析：D为0<x<2,0<y<2表示的正方形区域，d为(x－1)2＋(y－1)2＝1围成的圆面．答案：8．(理)(2022·南昌模拟)在区间[－6,6]内任取一个元素x0，抛物线x2＝4y在x＝x0处的切线的倾斜角为α，则α∈[，]的概率为________．解析：当切线的倾斜角α∈[，]时，切线斜率的取值范围是(－∞，－1]∪6\n[1，＋∞)，抛物线x2＝4y在x＝x0处的切线斜率是x0，故只要x0∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)即可，如果在区间[－6,6]内取值，则只能取区间[－6，－2]∪[2,6]内的值，这个区间的长度是8，区间[－6,6]的长度是12，故所求的概率是＝.答案：8．(文)(2022·徐州模拟)若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．三、解答题9．在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，求函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率．解：f′(x)＝x2＋a≥0，故函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点等价于f(－1)f(1)≤0，即·≤0，得·≥0.又0≤a≤1,0≤b≤1，所以得画出不等式组表示的区域(如图阴影部分)．由得6\n在a－b＋＝0中，令a＝0，得b＝.所以阴影部分的面积为1－××＝.故所求概率为P＝＝.10．(理)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．∴所求事件的概率为P＝＝＝.10．(文)已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．6\n解：(1)因为函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞]上为增函数，当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1,1；若a＝3，则b＝－1,1.所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，故所求事件的概率为＝＝.(2)由题意知点(a，b)构成的区域为，即如图所示的△OAB内部(不包括OA、OB边)，又由(1)知，函数f(x)＝ax2－4bx＋11在[1，＋∞)为增函数需满足2b≤a且a>0，此时点(a，b)满足的条件为，表示的区域如图阴影所示，即△OAC内部，由得，即点C坐标为故所求概率为P＝＝＝.6
