活页作业 两直线的位置关系及距离公式一、选择题1．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )A．6 B. C．2 D．不能确定解析：由题意知kAB＝＝b－a＝1，故|AB|＝＝.答案：B2．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )A．0或－ B.或－6C．－或 D．0或3．(理)点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2,1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是( )A．－ B. C．－ D.解析：由题意知，解得k＝－，b＝，∴直线方程为y＝－x＋，令y＝0，得x＝，即直线在x轴上的截距为.答案：D5\n3．(文)直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1,0)对称，则b＝( )A．2 B．－2 C．－6 D．2或－6解析：由题意，点A(1,0)不在直线x＋2y－3＝0上，则－＝－，∴a＝2，又点A到两直线的距离相等，∴|b＋2|＝4，∴b＝－6或b＝2，又∵点A不在直线上，两直线不重合，∴b＝2.答案：A4．(2022·抚顺模拟)已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )A．－4 B．－2 C．0 D．25．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)的距离相等的直线方程是( )A．y＝1B．2x＋y－1＝0C．y＝1或2x＋y－1＝0D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0解析：①当过点P的直线无斜率时，其方程为x＝0，不满足条件．②设过点P的直线方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由条件得＝.即|3k－2|＝|5k＋2|.解得k＝0或k＝－2.故所求直线方程为y＝1或2x＋y－1＝0.答案：C6．光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为5\n( )A．y＝x－1 B．y＝x－C．y＝x＋ D．y＝x＋1解析：由得，即所求直线过点(－1，－1)．又直线y＝2x＋1上一点(0,1)关于直线y＝x对称的点(1,0)在所求直线上，∴所求直线方程为＝，即y＝x－.答案：B二、填空题7．(理)(2022·天津模拟)若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)且与经过点(－2,1)、斜率为－的直线垂直，则实数a的值为________．7．(文)(2022·沈阳模拟)若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________．解析：显然当a＝1时两直线不平行；当a≠1时，k1＝－，k2＝，因为两条直线平行，所以－＝，解得a＝3或a＝－2.经检验a＝－2时两直线重合，故a＝3.答案：38．(金榜预测)函数y＝a2x－2(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，若直线l：mx＋ny－1＝0经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为________．解析：方法一：由指数函数的性质可得：函数y＝a2x－2(a＞0，a≠1)的图象恒过点A(1,1)，而A∈l，∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1.由基本不等式可得m2＋n2≥(m＋n)2＝.5\nO到直线l的距离d＝≤＝.∴O到直线l的距离的最大值为.方法二：∵直线l：mx＋ny－1＝0经过点A(1,1)，∴坐标原点O到直线l的距离的最大值为|OA|＝.答案：9．(理)(2022·晋中模拟)直线l经过点P(3,2)且与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，△AOB的面积为12，则直线l的方程为________．9．(文)(2022·银川模拟)与直线x＋4y－4＝0垂直，且与抛物线y＝2x2相切的直线方程为________．解析：由条件知所求直线斜率为4，设切点为(x0,2x)，则由y′＝4x及导数的几何意义得4x0＝4.∴x0＝1，故切点为(1,2)．故所求直线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.答案：4x－y－2＝0三、解答题10．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．(1)若l1∥l2，求b的取值范围；(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋，因为a2≥0，所以b≤0.又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.5\n故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，5
