第4讲 力与物体的曲线运动(二)——电场和磁场中的曲线运动一、选择题(共9小题，每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确．)1.(2022·河北唐山二模，16)一个带正电的粒子，在xOy平面内以速度v0从O点进入一个匀强电场，重力不计．粒子只在电场力作用下继续在xOy平面内沿图1－4－16中虚线轨迹运动到A点，且在A点时的速度方向与y轴平行，则电场强度的方向可能是( )图1－4－16A．沿x轴正方向B．沿x轴负方向C．沿y轴正方向D．垂直于xOy平面向里解析 在O点粒子速度有水平向右的分量，而到A点时水平分量变为零，说明该粒子所受电场力向左或有向左的分量，又因为粒子带正电，故只有B正确．答案 B2．如图1－4－17所示，虚线MN上方的空间内存在一磁感应强度大小为B的匀强磁场．一群电子以不同的速率v从MN边界上的P点以相同的方向射入磁场，其中某一速率为v0的电子从Q点射出．已知电子入射方向与边界的夹角为θ，则由以上条件可判断( )图1－4－17A．该匀强磁场的方向垂直纸面向外B．所有电子在磁场中的运动轨迹都相同C．所有电子的速度方向都改变了2θD．速率大于v0的电子在磁场中运动的时间长10\n解析 由左手定则可知该匀强磁场的方向垂直纸面向里，选项A错误；由半径公式r＝可知，电子进入磁场的速率越大，其轨道半径就越大，则不同速率的电子在磁场中的运动轨迹不同，选项B错误；所有电子在磁场中运动的圆心角为2θ，所有电子的速度方向都改变了2θ，选项C正确；又因为电子在磁场中运动的周期为T＝，所以电子在磁场中运动的时间为t＝T＝，与电子运动的速率无关，选项D错误．答案 C3.(2022·江苏省无锡市期末)如图1－4－18所示，足够大的光滑绝缘水平面上有三个带电质点，A和C均围绕B以相同的角速度做匀速圆周运动，三个带电质点始终在同一直线上，B恰能保持静止．其中A、C和B的距离分别是L1和L2.不计三质点间的万有引力，则A和C的比荷(电荷量与质量之比)之比应是( )图1－4－18A.2B.2C.3D.3解析 根据B恰能保持静止可得：k＝k.A做匀速圆周运动，k－k＝mAω2L1，C做匀速圆周运动，k－k＝mCω2L2，联立解得A和C的比荷(电荷量与质量之比)之比等于()3，选项C正确．答案 C4.(2022·河南洛阳市统考)在光滑绝缘的水平桌面上，存在着方向水平向右的匀强电场，电场线如图1－4－19中实线所示．一初速度不为零的带电小球从桌面上的A点开始运动，到C点时，突然受到一个外加的恒力F作用而继续运动到B点，其运动轨迹如图中虚线所示，v表示小球经过C点时的速度．则( )图1－4－1910\nA．小球带正电B．恒力F的方向可能水平向左C．恒力F的方向可能与v方向相反D．在A、B两点小球的速率不可能相等解析 由小球从A到C的运动轨迹可知，小球所受电场力向右，小球带正电，选项A正确；到C点时，突然受到一个外加的水平恒力F作用而继续运动到B点，恒力F的方向可能水平向左，选项B正确；恒力F的方向与v方向的夹角一定小于180°，选项C错误；在A、B两点小球的速率有可能相等，选项D错误．答案 AB5．(2022·山东青岛高三自评)如图1－4－20所示，在边长为L的正方形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，有一带正电的电荷，从D点以沿DB方向的速度v0射入磁场，恰好从A点射出，已知电荷的质量为m，带电荷量为q，不计电荷的重力，则下列说法正确的是( )图1－4－20A．匀强磁场的磁感应强度为B．电荷在磁场中运动的时间为C．若电荷从CD边界射出，随着入射速度的减小，电荷在磁场中运动的时间会减小D．若电荷的入射速度变为2v0，则电荷会从AB中点射出解析 根据牛顿第二定律可得：Bqv0＝，根据题述，r＝L，可得匀强磁场的磁感应强度B＝，故选项A正确；根据带电粒子在磁场中做匀速圆周运动可求得，电荷在磁场中运动的时间为t＝，故B选项错误；若电荷从CD边界射出，随着入射速度的减小，半径减小，带电粒子在磁场中的运动轨迹都是半圆弧，根据周期T＝可知，电荷在磁场中运动的时间都为，因此C选项错误；若电荷的入射速度变为2v0，根据Bqv＝10\n可求得r＝＝2L，再根据几何关系可求得，电荷在AB上的出射点与B点的距离为(2－)L，则D选项错误．答案 A6．(2022·合肥市第三次质量检测)如图1－4－21所示，虚线MN上方存在方向垂直纸面向里的匀强磁场B1，带电粒子从边界MN上的A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场、经磁场偏转后从边界MN上的B点射出．若在粒子经过的区域PQ上方再叠加方向垂直纸面向里的匀强磁场B2.让该粒子仍以速度v0从A处沿原方向射入磁场，经磁场偏转后从边界MN上的B′点射出．(图中未标出)，不计粒子的重力，下列关于粒子的说法正确的是( )图1－4－21A．B′点在B点的右侧B．从B′点射出的速度大于从B点射出的速度C．从B′点射出的速度方向平行于从B点射出的速度方向D．从A到B′的时间等于从A到B的时间解析 粒子在匀强磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力qvB＝得：r＝，所以磁感应强度越大，粒子运动的半径越小，所以带电粒子在PQ上方时做圆周运动的半径小，粒子透过PQ连线的速度方向不变，故运动轨迹(PQ上方)如图，因此B′点在B点的左侧，故A错误；洛伦兹力对运动电荷不做功，所以粒子的速度不变，故B错误；从图中可以看出，两种情况下，粒子穿过PQ连线时转过的角度相同，所以从PQ的上方出来时的速度方向是相同的，因此从B′点射出的速度方向平行于从B点射出的速度方向，故C正确；因T＝＝，所以在粒子经过的区域PQ上方再叠加方向垂直纸面向里的匀强磁场时，上方的磁场变大，粒子穿过上方的时间就变小，所以从A到B′的时间小于从A到B的时间，故D错．答案 C7.在xOy平面内有一个宽为L(ac＝L)的磁场区，磁场垂直纸面向外，如图1－4－22所示，一带电粒子从x轴上的P点以速度v垂直于x轴射出，经磁场后从M点穿过y10\n轴．今要求粒子从N点穿过y轴，下列措施可行的是( )图1－4－22A．将磁场区向y轴负向平移适当距离B．将磁场区向y轴正向平移适当距离C．保持cd不动，将ab向y轴正方向平移适当距离D．保持磁场位置和宽度不变，减小磁感应强度解析 带电粒子进入磁场后的运动轨迹如图所示，若磁场宽度不变，则轨迹efM不变，将磁场区沿y轴平移时，efM随之平移，因此磁场区向y轴负向平移可使粒子由N点过y轴，A对、B错；当保持cd不动，将ab向y轴正方向平移时，粒子在磁场中运动的时间增长，偏转角增大，可使粒子过N点，C正确；若保持磁场位置和宽度不变，减小磁感应强度，则轨道半径增大，偏转角减小，粒子从离N点更远处过y轴，D错．答案 AC8.如图1－4－23所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd，e是ad的中点，f是cd的中点，如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的带电粒子，恰好从e点射出，则( )图1－4－23A．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d点射出B．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f点射出C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，也将从d点射出D．只改变粒子的速度使其分别从e、d、f点射出时，从e点射出所用时间最短10\n解析 作出示意图如图所示，根据几何关系可以看出，当粒子从d点射出时，轨道半径增大为原来的二倍，由半径公式R＝可知，速度v增大为原来二倍或磁感应强度变为原来一半，A项正确，C项错误；当粒子的速度增大为原来的五倍时，才会从f点射出，B项错误；据粒子的周期公式T＝，可见粒子的周期与速度无关，在磁场中的运动时间取决于其轨迹圆弧所对应的圆心角，所以从e、d射出时所用时间相等，从f点射出时所用时间最短，D项错误．答案 A9.(2022·高考押题卷三)如图1－4－24所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域．磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B.∠A＝60°，AO＝a.在O点放置一个粒子源，可以向纸面内各个方向发射某种带负电粒子，粒子的比荷为，速度大小都为v0，且满足v0＝，发射方向由图中的角度θ表示．对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是( )图1－4－24A．粒子在磁场中运动的半径为aB．粒子有可能打到A点C．以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出10\n解析 根据qv0B＝得：R＝a，故选项A正确．θ＝0时，粒子的运动轨迹如图所示，随着θ的增大，粒子将在A、D之间射出，当θ＝60°时，粒子恰好从A点射出，且在磁场中的运动时间最长，当θ＞60°时，随着θ的增大，粒子在磁场中的运动时间减小．由以上分析可知，选项A、B、D正确．答案 ABD二、非选择题10．(2022·广州模拟)如图1－4－25所示，板长L＝10cm，板间距离d＝10cm的平行板电容器水平放置，它的左侧有与水平方向成60°角斜向右上方的匀强电场，某时刻一质量为m、带电荷量为q的小球由O点静止释放，沿直线OA从电容器C的中线水平进入，最后刚好打在电容器的上极板右边缘，O到A的距离x＝45cm，(g取10m/s2)求：图1－4－25(1)电容器外左侧匀强电场的电场强度E的大小；(2)小球刚进入电容器C时的速度v的大小；(3)电容器C极板间的电压U.解析 (1)由于带电小球做直线运动，因此小球所受合力沿水平方向，则：Eq＝得E＝(2)从O点到A点，由动能定理得：qEcos60°·x＝mv2－0解得：v＝3m/s(3)小球在电容器C中做类平抛运动，水平方向：L＝vt①竖直方向：＝at2②10\na＝－g③①②③联立求解得U＝答案 (1) (2)3m/s (3)11．(2022·广东卷，36)如图1－4－26所示，足够大的平行挡板A1、A2竖直放置，间距6L，两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN为理想分界面．Ⅰ区的磁感应强度为B0，方向垂直纸面向外．A1、A2上各有位置正对的小孔S1、S2，两孔与分界面MN的距离为L、质量为m、电量为＋q的粒子经宽度为d的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从S1进入Ⅰ区，并直接偏转到MN上的P点，再进入Ⅱ区、P点与A1板的距离是L的k倍．不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑．图1－4－26(1)若k＝1，求匀强电场的电场强度E;(2)若2<k<3，且粒子沿水平方向从S2射出，求出粒子在磁场中的速度大小v与k的关系式和Ⅱ区的磁感应强度B与k的关系式．解析 (1)若k＝1，则有：MP＝L，①即该情况粒子的轨迹半径为：R＝L，②粒子做匀速圆周运动，其向心力由洛伦兹力提供：qvB0＝m③v＝④粒子在匀强电场中，据动能定理有：qEd＝mv2⑤解得：E＝⑥10\n(2)由于P距离A1为kL，且2<k<3，粒子从S2水平飞出，该粒子运动轨迹如图所示，则根据从S1到P处的轨迹由几何关系得R2－(kL)2＝(R－L)2⑦又由qvB0＝m⑧则整理得：v＝⑨又由题意及轨迹图得：6L－2kL＝PQ⑩据几何关系，由相似三角形得：＝⑪又有qvB＝m⑫解得Ⅱ区的磁感应强度B与k关系为：B＝⑬答案 (1) (2)v＝ B＝12.如图1－4－27所示，在边长L＝8cm的正方形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0＝0.1T.距离AB、AD边均为d＝1cm的P点有一粒子源，能在纸面内向各个方向发射出速率不同的带正电的粒子，粒子的质量m＝1.0×10－14kg，电荷量q＝1.0×10－5C，粒子的重力可忽略不计，不考虑带电粒子之间的相互作用．(计算结果可保留根号)图1－4－27(1)速度在什么范围内的粒子将不可能射出磁场，被完全约束在正方形区域内？(2)速度大小为5.0×106m/s的粒子将从BC边的什么范围内射出？10\n解析 (1)粒子射出后沿逆时针偏转．当粒子运动轨迹为Ⅰ时，粒子运动半径r1＝为不可射出磁场的最大轨道半径，对应最大速度．由牛顿第二定律得qv1B0＝m解得v1＝5×105m/s速度小于或等于5×105m/s的粒子将不可能射出磁场．(2)设速度大小为v2＝5×106m/s的粒子运动的轨道半径为r2.由牛顿第二定律得qv2B0＝m解得r2＝5cm当粒子沿轨迹Ⅱ运动时，与AB边相切于E点，粒子将从BC边的F点射出，此点为距B点的最低出射点．由几何关系r－(r2－d)2＝2解得＝3cm所以＝L－d－＝4cm在三角形O2FI中r＝(r2－)2＋2解得＝2cm则出射点F距下边界的距离＝＝2cm当粒子沿轨迹Ⅲ运动时，与BC边相切于G点时，粒子将从BC边的G点射出，此点为距B点的最高出射点，由几何关系r＝(L－r2－d)2＋2解得＝cm则出射点G距下边界的距离＝＋d＝(1＋)cm综上所述，出射点距B的距离s满足2cm≤s≤(1＋)cm.答案 (1)v≤5×105m/s(2)2cm≤s≤(1＋)cm10
