第2讲 两条直线的位置关系分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )．A．x－2y＋4＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋5＝0解析 由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.答案 A2．(2022·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件．答案 C3．(2022·金华调研)当0<k<时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析 解方程组得两直线的交点坐标为，因为0<k<，所以<0，>0，故交点在第二象限．答案 B4．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )．6\nA．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0解析 由题意可得直线l的斜率存在，故设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得＝，∴k＝2或k＝－.∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·东北三校二模)已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.解析 由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝.答案 6．(2022·湘潭质检)若过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y＋2＝0平行，则m的值为________．解析 因为过点A，B的直线平行于直线2x＋y＋2＝0，所以kAB＝＝－2，即m＝－8.答案 －8三、解答题(共25分)7．(12分)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．6\n∴k1＝k2，即＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.8．(13分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴＝3.解得λ＝2或λ＝.∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝.分层B级 创新能力提升1．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝( )．A．4B．6C.D.解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得6\n故m＋n＝.答案 C2．(2022·长沙模拟)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )．A．3B．2C．3D．4解析 依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.答案 A3．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．解析 由题意得，＝≠，∴a＝－4且c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，由两平行线间的距离，得＝，解得c＝2或c＝－6，所以＝±1.答案 ±14．直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．解 法一 设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为＝，即3x＋y＋1＝0.6\n法二 设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由得x＝.由得x＝.则＋＝－2，解得k＝－3.因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.5．已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程．解 法一 因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等．由两平行直线间的距离公式得＝，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直线l2的方程为x－y－5＝0.法二 由题意知l1∥l2，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．在直线l1上取点M(0,3)，设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，于是有解得即M′(4，－1)．把点M′(4，－1)代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0.6．(2022·安徽)已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.(1)求椭圆E的方程；(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．解 (1)设椭圆E的方程为＋＝1，由e＝，即＝，得a＝2c，得b2＝a2－c2＝3c2.6\n∴椭圆方程可化为＋＝1.将A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c＝2.∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线AF1的方程为y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，直线AF2的方程为x＝2.由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率大于0.设P(x，y)为l上任一点，则＝|x－2|.若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0(因其斜率为负，舍去)．于是，由3x－4y＋6＝－5x＋10，得2x－y－1＝0，∴直线l的方程为2x－y－1＝0.(3)假设存在B(x1，y1)，C(x2，y2)两点关于直线l对称，则l⊥BC，∴kBC＝－.设直线BC的方程为y＝－x＋m，将其代入椭圆方程＋＝1，得一元二次方程3x2＋42＝48，即x2－mx＋m2－12＝0.则x1与x2是该方程的两个根．由根与系数的关系得x1＋x2＝m，于是，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2m＝，∴线段BC的中点坐标为.又线段BC的中点在直线y＝2x－1上，∴＝m－1，得m＝4.即线段BC的中点坐标为(2,3)，与点A重合，而这是不可能的．∴不存在满足题设条件的相异两点.6
