【备战2022】高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题06不等式理【2022高考真题精选】1.（2022·福建卷）下列不等式一定成立的是( )A．lg＞lgx(x＞0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.＞1(x∈R)2．（2022·重庆卷）设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；(2)若a2＞－1，求证：Sn≤(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．64\n64\n的不等式成立．当a2＞1时，令b＝，则0＜b＜1，由已知的结论知64\n＜，两边同时乘以a得所要证的不等式．综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．3．（2022·浙江卷）设a>0，b>0( )A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<bC．若2a－2a＝2b－3b，则a>bD．若2a－2a＝2b－3b，则a<b【答案】A 【解析】本题考查构造函数、利用函数性质来实现判断逻辑推理的正确与否，考查观察、构想、推理的能力．若2a＋2a＝2b＋3b，必有2a＋2a>2b＋2b.构造函数：f(x)＝2x＋2x，则f(x)＝2x＋2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立，故A正确，B错误．其余选项用同样方法排除．4．（2022·浙江卷）设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是( )A．若d<0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d<0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列4．（2022·山东卷）若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.【答案】2 【解析】本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，容易题．去绝对值得－2≤kx－4≤2，即2≤kx≤6，又∵其解集为，∴k＝2.5．（2022·江苏卷）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为（0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．【答案】9 【解析】本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法．解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系．由条件得a2－4b＝0，从而f(x)＝2，不等式f(x)<c解集为－－<x<－＋，故两式相减得＝3，c＝9.64\n6．（2022·天津卷）已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.【答案】－1,1 【解析】本题考查绝对值不等式的解法及集合的交并运算，考查运算求解能力，容易题．∵A＝，且A∩B＝(－1，n)，∴m＝－1，B＝，∴A∩B＝(－1,1)，即n＝1.7．（2022·浙江卷）设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝( )A．(1,4)B．(3,4)C．(1,3)D．(1,2)∪(3,4)【答案】B 【解析】本题主要考查不等式的求解、集合的关系与运算等．由于B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，则∁RB＝{x|x<－1或x>3}，那么A∩(∁RB)＝{x|3<x<4}＝(3,4)，故应选B.8．（2022·北京卷）已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.则m的取值范围是________．9．（2022·重庆卷）不等式≤0的解集为( )A.B.C.∪（1，＋∞)D.∪（1，＋∞)64\n【答案】A 【解析】不等式等价于解得－＜x≤1，选A.10．（2022·重庆卷）设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．11．（2022·陕西卷）设函数f(x)＝D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．【答案】2 【解析】本小题主要考查了利用导数求切线方程、线性规划的知识，解题的突破口是先求出切线的方程，画出可行域．对于函数在x＝1的导数，可只对函数y＝lnx求导，有y′＝，所以在x＝1处的切线的斜率为k＝1，在x＝1处的切线方程为：y＝x－1.此时可画出可行域．当目标函数过点(0，－1)时z取得最大值2.12．（2022·山东卷）已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )A.B.C．[－1,6]D.64\n13．（2022·重庆卷）设平面点集A＝(x，y)(y－x)·y－≥0，B＝，则A∩B所表示的平面图形的面积为( )A.πB.πC.πD.【答案】D 【解析】平面点集A表示的平面区域就是不等式组与表示的两块平面区域，而平面点集B表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们所示的平面区域，如图所示，图中的阴影部分就是A∩B所表示的平面图形．由于圆和曲线y＝关于直线y＝x对称，因此阴影部分所表示的图形面积为圆面积的，即为.14．（2022·辽宁卷）设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为( )A．20B．35C．45D．5564\n15．（2022·全国卷）若x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为________．【答案】－1 【解析】本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线．利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值－1.16．（2022·安徽卷）若x，y满足约束条件则x－y的取值范围是________．17．（2022·北京卷）设不等式组64\n表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】设事件A：点到坐标原点的距离大于2.如图1－1，P(A)＝＝＝.图1－118．（2022·四川卷）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元【答案】C 【解析】设该公司每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，则利润函数z＝300x＋400y，如图，在的交点(4,4)处取得最大值．zmax＝300×4＋400×4＝2800元．19．（2022·福建卷）若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )A.B．1C.D．2【答案】B 【解析】根据约束条件画出可行域如下图所示，根据题意，显然当曲线y＝2x与直线y＝－x＋3相交，交点的横坐标即为m的最大值，解方程组：解得x＝1，y＝2，所以交点的横坐标为x＝1，所以当m≤1时，曲线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件，所以m的最大值为1.64\n20．（2022·广东卷）已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为( )A．12B．11C．3D．－1【答案】B 【解析】作出可行域，如图所示．目标函数变形为：y＝－3x＋z，平移目标函数线，显然当直线经过可行域中A点时，z最大，由得A(3,2)，所以zmax＝3×3＋2＝11.所以选择B.21．（2022·江西卷）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )A．50,0B．30,20C．20,30D．0,5064\n22．（2022·课标全国卷）设x，y满足约束条件则z＝x－2y的取值范围为________．【答案】[－3,3]【解析】作出不等式组表示的平面区域(如下图阴影部分所示，含边界)，平移直线z＝x－2y，可知当直线z＝x－2y经过点M(1,2)时，z＝x－2y取得最小值－3，经过点N(3,0)时，z＝x－2y取得最大值3，所以z∈[－3,3]．23．（2022·福建卷）下列不等式一定成立的是( )A．lg＞lgx(x＞0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.＞1(x∈R)64\n24．（2022·安徽卷）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab>c2，则C<；②若a＋b>2c，则C<；③若a3＋b3＝c3，则C<；④若(a＋b)c<2ab，则C>；⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>.64\n25．（2022·江苏卷）已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是________．【答案】．[e,7] 【解析】本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用．解题突破口为将所给不等式条件同时除以c，三元换成两元．题设条件可转化为记x＝，y＝，则且目标函数为z＝，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形．由方程组得交点坐标为C，此时zmax＝7.又过原点作曲线y＝ex的切线，切点为(x0，y0)，因y′＝ex，故切线斜率k＝ex0，切线方程为y＝ex0x，而y0＝ex0且y0＝ex0x0，解之得x0＝1，故切线方程为y＝ex，从而zmin＝e，所求取值范围为[e,7]．26．(2022·广东卷)设a<1，集合A＝{x∈R|x>0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．64\n∴B＝(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．又∵x1>0⇔a>0，所以i)当0<a<时，D＝A∩B＝(0，x1)∪(x2，＋∞)；ii)当a≤0时，D＝(x2，＋∞)．(2)f′(x)＝6x2－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．当a<1时，f(x)在R上的单调性如下表：x(－∞，a)a(a,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值①当<a<1时，D＝(0，＋∞)．由表可得，x＝a为f(x)在D内的极大值点，x＝1为f(x)在D内的极小值点．②当a＝时，D＝(0,1)∪(1，＋∞)．64\n27．(2022·陕西卷)设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围；(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，…，xn，…的增减性．【答案】解：(1)b＝1，c＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn＋x－1.∵fnfn(1)＝×1<0，∴fn(x)在内存在零点．又当x∈时，f′n(x)＝nxn－1＋1>0，∵fn(x)在上是单调递增的，∴fn(x)在内存在唯一零点．(2)当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：①当>1，即|b|>2时，64\n28．(2022·江苏卷)如图1－5，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．64\n(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．29．(2022·四川卷)如图1－7所示，动点M与两定点A(－1,0)、B(2,0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB，设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设直线y＝－2x＋m与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．图1－7【答案】解：(1)设M的坐标为(x，y)，显然有x>0，且y≠0.当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有tan∠MBA＝，64\n30．(2022·四川卷)记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{xn}满足x1＝a，xn＋1＝(n∈N*)．现有下列命题：①当a＝5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn＝xk；③当n≥1时，xn＞－1；④对某个正整数k，若xk＋1≥xk，则xk＝[]．其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)64\n31．(2022·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab>c2，则C<；②若a＋b>2c，则C<；③若a3＋b3＝c3，则C<；④若(a＋b)c<2ab，则C>；⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>.【答案】①②③ 【解析】本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．64\n32．(2022·四川卷)已知a为正实数，n为自然数，抛物线y＝－x2＋与x轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．(1)用a和n表示f(n)；(2)求对所有n都有≥成立的a的最小值；(3)当0＜a＜1时，比较与·的大小，并说明理由．64\n【2022高考真题精选】64\n1.(2022年高考浙江卷理科5)设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是（A）14（B）16（C）17（D）19【答案】B【解析】作出可行域，，为整数，所以，故选.2.(2022年高考浙江卷理科7)若为实数，则“”是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】则因为所以即于是所以成立，充分条件；反之成立，即则故，不必要条件。故选A3.(2022年高考安徽卷理科4)设变量满足则的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１【答案】B【解析】不等式对应的区域如图所示，64\n当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以的最大值和最小值分别为2，－2.故选B.4.(2022年高考江西卷理科3)若，则的定义域为A.B.C.D.【答案】A【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.5.(2022年高考江西卷理科4)若，则的解集为A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.6.(2022年高考湖南卷理科7)设在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为A.B.C.D.【答案】A【解析】画出可行域，或分别解方程组，，64\n得到三个区域端点，，，当且仅当直线过点时，取到最大值,解得。故选A7.(2022年高考广东卷理科5)已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为(，1)．则的最大值为（）A.B.C.4D.3【答案】C【解析】C.由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,，所以就是求的最大值，表示数形结合观察得当点M在点B的地方时，才最大。,所以.8．(2022年高考湖北卷理科8)已知向量，且，若满足不等式，则z的取值范围为64\nA.[—2,2]B.[—2,3]C.[—3,2]D.[—3,3]9．(2022年高考湖北卷理科9)若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，即，故，则，化简得，即ab=0，故且，则且，故选C.10.(2022年高考浙江卷理科16)设为实数，若则的最大值是.。【答案】【解析】，，故的最大值为11．(2022年高考天津卷理科13)已知集合，则集合=________64\n12.(2022年高考湖南卷理科10)设，且，则的最小值为.13.(2022年高考广东卷理科9)不等式的解集是______.【答案】【解析】。由题得所以不等式的解集为。14.(2022年高考安徽卷江苏8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________【答案】4【解析】设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.15．(2022年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）64\n在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:．实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。（1）过点作L的切线教y轴于点B．证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0．过M（a，b）作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a,b）X;（3）设D={（x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）2-}．当点（p,q）取遍D时，求的最小值（记为）和最大值（记为）．64\n故必有再由等价式1），综上，64\n16.(2022年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）(Ⅰ)已知函数，求函数的最大值；(Ⅱ)设均为正数，证明：（1）若，则；（2）若，则【解析】64\n即，综合①②，（2）得证.【2022高考真题精选】64\n1.（2022浙江理数）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数（A）（B）（C）1（D）2【答案】C【解析】将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题2.（2022全国卷2理数）不等式的解集为（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故选C。3.（2022江西理数）不等式高☆考♂资♀源*网的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得A。或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。4.（2022重庆理数）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A.3B.4C.D.【答案】B【解析】考察均值不等式，整理得即，又，64\n5.（2022重庆理数）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为A.—2B.4C.6D.8【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图所示当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值66.（2022四川理数）设，则的最小值是A）2（B）4（C）（D）5【答案】B[来源:学科网]【解析】＝＝≥0＋2＋2＝4当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立如取a＝,b＝,c＝满足条件.7.（2022四川理数）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱64\n8.（2022福建理数）设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B,的最小值等于()A．B．4C．D．2【答案】B【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，64\n可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。9.（2022辽宁理数）已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示）【答案】（3，8）【解析】画出不等式组表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8.10.（2022安徽理数）设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为________。【答案】4[来源:学#科#网Z#X#X#K]【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是，易见目标函数在取最大值8，所以，所以，在时是等号成立。所以的最小值为4.64\n11.（2022湖北理数）已知，式中变量，满足约束条件，则的最大值为___________.12.（2022湖北理数）设a>0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a,b的几何平均数，线段的长度是a,b的调和平均数。64\n13.（2022江苏卷）设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是▲。。【答案】27【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。，，，的最大值是27。14.（2022浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知(I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．【解析】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π所以sinC=.（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得64\nc=4由cos2C=2cos2C-1=，J及0＜C＜π得cosC=±由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±b-12=0解得b=或2所以b=b=c=4或c=415.（2022辽宁理数）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.17.（2022江西理数）（本小题满分12高☆考♂资♀源*网分）已知函数。64\n(1)当m=0时，求在区间上的取值范围；(2)当时，，求m的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）当m=0时，，由已知，得从而得：的值域为（2）化简得：当，得：，，代入上式，m=-2.18.（2022四川理数）（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；由推导两角和的正弦公式.（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.【答案】解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.64\n19.（2022天津理数）已知函数64\n（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，求的值。20.（2022福建理数）轮某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，船位于港口O北偏西64\n且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。21.（2022江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。64\n该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？22.（2022江苏卷）23.（本小题满分10分）已知△ABC的三边长都是有理数。求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。64\n【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。（方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，64\n【2022高考真题精选】1．（2022·天津理6）设若的最小值为A8B4C1D【答案】C【解析】因为，所以，，当且仅当即时“=”成立，故选择C2.（2022·山东12）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为().A.B.C.D.4【答案】Ax22yO-2z=ax+by3x-y-6=0x-y+2=0【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而=,故选A.3.(宁夏海南文理6)设满足则64\n（A）有最小值2，最大值3（B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值（D）既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B。4．(福建9)在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A.-5B.1C.2D.3【答案】D【解析】如图可得黄色即为满足的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.5．(山东5)在R上定义运算⊙:⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为().A.(0,2)B.(-2,1)C.D.(-1,2)【答案】B.【解析】:根据定义⊙,解得,所以所求的实数的取值范围为(-2,1),故选B.64\n6．(2022·山东13)不等式的解集为.7.(2022·浙江文13)若实数满足不等式组则的最小值是．【答案】4【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，8.（2022·山东文16）某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.【答案】2300【解析】设甲种设备需要生产天,乙种设备需要生产天,该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:产品设备A类产品(件)(≥50)B类产品(件)(≥140)租赁费(元)甲设备510200乙设备62030064\n9.(2022·浙江文13)若实数满足不等式组则的最小值是．【答案】4【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，10.(江苏12)设为实数，函数.(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.64\n【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分（1）若，则（2）当时，当时，综上（3）时，得，当时，；当时，△>0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.【2022年高考真题精选】1．（2022·山东理）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是64\n（A）[1,3](B)[2,](C)[2,9](D)[,9]2．（2022·广东理）若变量满足则的最大值是（）A．90B．80C．70D．40【答案】C【解析】画出可行域（如图），在点取最大值3．（2022·山东理）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为.【答案】（5，7）【解析】本题考查绝对值不等式，解得64\n4．（2022·广东理）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是．【答案】【解析】方程即,左边在数轴上表示点到原点和的距离的和，易见（等号成立），而右边的最大值是，所以方程有解当且仅当两边都等于，可得实数的取值范围为5．（2022·江苏）的最小值为。【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。6．(2022·山东理14)设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是_______.【答案】【解析】画图确定可行域，从而确定到直线直线距离的最大为64\n【最新模拟】1．(2022·漳州联考)若0<x<y<1，则下列不等式正确的是( )A．3y<3xB．logx3<logy3C．log4x<log4yD.x<y当x＝－时，函数g(x)＝－－＋1取得最小值－，所以－4m2≤－，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－或m≥，故实数m的取值范围为∪.3．(2022·浙江重点中学联考)定义max{a，b}＝设实数x，y满足约束条件z＝max{4x＋y,3x－y}，则z的取值范围是( )A．[－7,10]B．[－6,8]C．[－6,10]D．[－7,8]【答案】A 【解析】本题主要考查函数的定义和线性规划基本运算．属于基础知识、基本运算的考查．z＝max{4x＋y,3x－y}＝所以由得z＝4x＋y∈[－7,10]；由得z＝3x－y∈(－7,8]，则z的取值范围是[－7,10]．4．(2022·浙江重点中学联考)设a＝，b＝p，c＝x＋y，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是________．64\n5．（2022·郑州一中模拟）已知不等式(x＋y)≥9对任意x、y为正实数恒成立，则正数a的最小值为________．6.【云南省玉溪一中2022届高三上学期期中考试理】已知向量，若，则的最小值为（）A．B．12C．6D．【答案】C【解析】因为，所以，即，所以。则，当且仅当取等号，所以最小值为6，选C.7.【云南省玉溪一中2022届高三第四次月考理】关于的不等式的解为或，则点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】A【解析】由不等式的解集可知，是方程的两个根，且，不妨设，，所以，即点的坐标为，位于第一象限，选A.8.【云南省玉溪一中2022届高三第四次月考理】函数为定义在64\n上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数的图像关于点（1,0）对称，所以的图象关于原点对称，即函数为奇函数，由得，所以，所以，即，画出可行域如图，可得=x+2y∈[0，12]．故选D．9.【天津市新华中学2022届高三上学期第二次月考理】设动点满足，则的最大值是A.50B.60C.70D.10064\n10.【山东省烟台市2022届高三上学期期中考试理】已知向量==,若，则的最小值为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知.故选C.11.【云南师大附中2022届高三高考适应性月考卷（三）理科】已知函数则满足不等式的x的取值范围为（）A．B．（－3，0）C．（－3，1）D．（－3，－）【答案】B【解析】由函数图象可知，不等式的解为即，故选B.12.【山东省实验中学2022届高三第一次诊断性测试理】设x、y满足则A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最大值D．既无最小值，也无最大值64\n【答案】B【解析】做出可行域如图（阴影部分）。由得，做直线，平移直线由图可知当直线经过点C（2，0）时，直线的截距最小，此时z最小为2，没有最大值，选B.13.【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（理）】设变量满足约束条件的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】做出约束条件表示的可行域如图，由图象可知。的几何意义是区域内的任一点到定点的斜率的变化范围，由图象可知，，所以，即，所以取值范围是，选C.64\n14.【山东省师大附中2022届高三12月第三次模拟检测理】若实数满足不等式组则的最大值是()A．11B．23C．26D．3015.【北京市东城区普通校2022届高三12月联考数学（理）】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A．B．C．D．【答案】C64\n【解析】做出约束条件对应的可行域如图，，由得。做直线，平移直线得当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，所以最大值，选C.16.【云南师大附中2022届高三高考适应性月考卷（三）理科】实数对（x，y）满足不等式组则目标函数z=kx－y当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式组所表示的区域如图2所示，直线过时z取最大值，即直线在y轴上的截距最小，由图可得直线的斜率，故选C.图264\n17.【北京市东城区普通校2022届高三12月联考数学（理）】若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是．（写出所有正确命题的编号）．①；②；③；④；⑤18.【山东省济南外国语学校2022届高三上学期期中考试理科】已知x和y是实数，且满足约束条件的最小值是.64\n得。19.【北京四中2022届高三上学期期中测验数学（理）】已知的最小值是5，则z的最大值是______.64\n20【山东省聊城市东阿一中2022届高三上学期期初考试】已知的最大值为【答案】【解析】因为21.【山东省潍坊市四县一区2022届高三11月联考（理）】若实数满足，则的值域是.64\n23【山东省实验中学2022届高三第三次诊断性测试理】若不等式组的解集中所含整数解只有-2，求的取值范围.【答案】【解析】由得要使解集中只有一个整数64\n，则由可知，不等式的解为，且，即，所以的取值范围是。24.【山东省实验中学2022届高三第三次诊断性测试理】当实数满足约束条件（为常数）时有最大值为12，则实数的值为.【答案】-12【解析】的最大值为12，即，由图象可知直线也经过点B.由，解得，即点,代入直线得。25.【天津市耀华中学2022届高三第一次月考理科】若关于x的不等式对任意在上恒成立，则实常数的取值范围是；【答案】【解析】得，即恒成立。因为，即在恒成立，令，则64\n26.【山东省济南外国语学校2022届高三上学期期中考试理科】已知x和y是实数，且满足约束条件的最小值是.27.【云南省玉溪一中2022届高三上学期期中考试理】若变量x、y满足，若的最大值为，则【答案】64\n28.【天津市新华中学2022届高三上学期第二次月考理】已知函数f（x）=x+2x+a（共10分）（1）当a=时，求不等式f（x）>1的解集；（4分）（2）若对于任意x∈[1，+），f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围；（6分）64
