第65讲 二项式定理 1.已知(1－2x)n的展开式中，奇数项的二项式系数之和为32，则该二项展开式的中间项为( )A．160x3B．－160x3C．240x4D．－160x3和240x4 2.(2022·安徽卷)(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是( )A．－3B．－2C．2D．3 3.(2022·天津卷)在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为( )A．10B．－10C．40D．－40 4.在(4x2－2x－5)(1＋)5的展开式中，常数项为______． 5.若(2x3＋)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于______． 6.若今天是星期六，则今天后第2100天是星期__________． 7.设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数是19(m，n∈N＋)．(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；(2)对f(x)展开式中x2的系数取最小值时的m和n，求f(x)展开式中x7的系数． 8.由等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定义f(a1，a2，a3，a4)＝b1＋b2＋b3＋b4，则f(4，3，2，1)等于( )A．10B．7C．－1D．0 9.设(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，则a3等于( )A．C513B．C514C．C503D．C50410.设数列{an}是等比数列，a1＝C2m＋33m·Am－21，公比q是(x＋)44\n第65讲 二项式定理 1.已知(1－2x)n的展开式中，奇数项的二项式系数之和为32，则该二项展开式的中间项为( )A．160x3B．－160x3C．240x4D．－160x3和240x4 2.(2022·安徽卷)(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是( )A．－3B．－2C．2D．3 3.(2022·天津卷)在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为( )A．10B．－10C．40D．－40 4.在(4x2－2x－5)(1＋)5的展开式中，常数项为______． 5.若(2x3＋)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于______． 6.若今天是星期六，则今天后第2100天是星期__________． 7.设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数是19(m，n∈N＋)．(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；(2)对f(x)展开式中x2的系数取最小值时的m和n，求f(x)展开式中x7的系数． 8.由等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定义f(a1，a2，a3，a4)＝b1＋b2＋b3＋b4，则f(4，3，2，1)等于( )A．10B．7C．－1D．0 9.设(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，则a3等于( )A．C513B．C514C．C503D．C50410.设数列{an}是等比数列，a1＝C2m＋33m·Am－21，公比q是(x＋)44\n的展开式中的第二项．(1)用n，x表示通项an与前n项和Sn；(2)若An＝Cn1S1＋Cn2S2＋…＋CnnSn，用n，x表示An.4\n第65讲1．B 2.D 3.D 4.15 5.7 6.一7．解析：(1)由题设，得m＋n＝19.所以m＝19－n.x2的系数为Cm2＋Cn2＝C19－n2＋Cn2＝n2－19n＋171＝(n－)2＋.因为n∈N＋，所以当n＝9，或n＝10时，x2的系数取最小值81.(2)当n＝9，m＝10，或n＝10，m＝9时，x7的系数为C107＋C97＝156.8．D 解析：方法1：由于f(4，3，2，1)＝x4＋4x3＋3x2＋2x＋1＝(x＋1)4－3x2－2x＝(x＋1)4－3(x＋1)2＋4(x＋1)－1，所以b1＋b2＋b3＋b4＝0.故选D.方法2：令x＝0，易得b1＋b2＋b3＋b4＝0.9．B 解析：a3＝C33＋C43＋…＋C503＝C514，故选B.10．解析：(1)因为a1＝C2m＋33m·Am－21，所以，即，所以m＝3.由(x＋)4，知T2＝C41·x4－1·＝x，所以an＝xn－1，Sn＝.(2)当x＝1时，Sn＝n，An＝Cn1＋2Cn2＋3Cn3＋…＋nCnn.又因为An＝nCnn＋(n－1)Cnn－1＋(n－2)Cnn－2＋…＋Cn1＋0·Cn0，所以2An＝n(Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn)，所以An＝n·2n－1.当x≠1时，Sn＝，An＝Cn1＋Cn3＋Cn3＋…＋Cnn＝[(Cn1＋Cn2＋Cn3＋…＋Cnn)－(xCn1＋x2Cn2＋x3Cn3＋…＋xnCnn)]＝[2n－1－(1＋xCn1＋x2Cn2＋…＋xnCnn－1)]＝[2n－(1＋x)n]．所以An＝.4
