微专题3圆锥曲线中的探索性与开放性问题1.（2021江苏宿迁高二期末）已知过点A(a,0)的直线与抛物线y2=2px(p＞0)交于M,N两点，若有且仅有一个实数a，使得OM⋅ON=-16成立，则p的值为()A.-4B.2C.4D.8答案：C解析：设直线MN的方程为x=ty+a，M(x1,y1),N(x2,y2)，联立得x=ty+a,y2=2px,整理得y2-2pty-2pa=0，所以y1+y2=2pt，y1y2=-2pa，所以x1x2=(ty1+a)(ty2+a)=t2y1y2+at(y1+y2)+a2=t2⋅(-2pa)+at⋅2pt+a2，因为OM⋅ON=-16，所以x1x2+y1y2=t2(-2pa)+at⋅2pt+a2-2pa=-16，所以a2-2pa+16=0，因为有且仅有一个实数a，使得OM⋅ON=-16成立，所以Δ=(-2p)2-64=0，解得p=4或p=-4（舍去）.2.已知双曲线C过点(3,2)，且渐近线方程为y=±33x，则下列结论中正确的个数为()①双曲线C的实轴长为23；②双曲线C的离心率为233；③曲线y=ex-2-1经过双曲线C的一个焦点；④直线x-2y-1=0与双曲线C有两个公共点.A.1B.2C.3D.4答案：C解析：根据题意设双曲线C的方程为x23-y2=λ，将(3,2)代入双曲线C的方程得λ=323-(2)2=1，所以双曲线C的方程为x23-y2=1.双曲线C的实轴长为23，所以①中结论正确；双曲线C的离心率为3+13=233，所以②中结论正确；令y=ex-2-1=0，得x=2，所以曲线y=ex-2-1经过双曲线C的右焦点(2,0)，所以③中结论正确；8,联立得x-2y-1=0,x23-y2=1,消去x得y2-22y+2=0，所以Δ=8-4×2=0，故直线x-2y-1=0与双曲线C只有一个公共点，所以④中结论错误.故选C.3.已知F为抛物线C:x2=2py(1＜p＜2)的焦点，F关于原点对称的点为F'，点M在抛物线C上，则下列结论中正确的个数为()①使得△MFF'为等腰三角形的点M有且仅有6个；②使得|MF'|+|MF|=1的点M有且仅有2个；③使得|MF'|=2|MF|的点M有且仅有4个.A.0B.1C.2D.3答案：A解析：△MFF'为等腰三角形，若|MF|=|FF'|，则这样的点M有两个，若|MF'|=|FF'|，则这样的点M有两个，满足|MF|=|MF'|的点M有一个但不能构成三角形，故点M只有4个，①中结论错误；|FF'|=p，|MF|+|MF'|≥|FF'|=p，又1<p<2，所以满足|mf'|+|mf|=1的点m不存在，②中结论错误；如图，作mn垂直于抛物线的准线（准线显然过点f'），垂足为n，则|mf|=|mn|，若|mf'|=2|mf|，则|mf'|=2|mn|，所以∠mf'n=45∘，又f'(0,-p2)，所以直线mf'的方程为y=-x-p2，代入抛物线的方程整理得x2+2px+p2=0，解得x1=x2=-p，此方程有两个相等的实数根，即直线mf'与抛物线只有一个公共点，根据对称性得满足|mf'|=2|mf|的点m有两个，③中结论错误.4.（2021天津西青高二期末）已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点a(2,0)，离心率为32.（1）求椭圆c的方程；（2）已知定点e(1,0)，若直线y=kx-2(k≠0)与椭圆c交于m、n两点，则是否存在实数k，使以线段mn为直径的圆过定点e？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.8,答案：（1）由题意得a2=b2+c2,ca=32,a=2,解得a2=4，b2=1，c2=3，所以椭圆c的方程为x24+y2=1.（2）假设存在实数k，使以线段mn为直径的圆过定点e，设m(x1,y1),n(x2,y2)，联立得y=kx-2,x24+y2=1,整理得(1+4k2)x2-16kx+12=0，所以δ=(-16k)2-4×12×(1+4k2)，x1+x2=16k1+4k2，x1⋅x2=121+4k2，若以mn为直径的圆过定点e，则em⊥en，所以em⋅en=(x1-1,y1)⋅(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-(2k+1)⋅(x1+x2)+5=0，所以(1+k2)×121+4k2-(2k+1)×16k1+4k2+5=0，解得k=1716，满足δ＞0，故存在实数k，使以线段mn为直径的圆过定点e，此时k=1716.5.（2020河北秦皇岛卢龙一中高二期末）已知点f1,f2是椭圆c:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点p是该椭圆上一点，当∠f1pf2=π3时，△pf1f2的面积取得最大值，为3,o为坐标原点.（1）求椭圆c的标准方程；（2）是否存在过左焦点f1的直线l，与椭圆c交于a，b两点，使得△oab的面积为1213？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.答案：（1）当点p在短轴的端点时，△pf1f2的面积取得最大值，所以bc=3，此时∠f1pf2=π3，∠opf1=π6，所以b=3c,又a2=b2+c2，所以a=2,c=1,b=3，所以椭圆c的标准方程为x24+y23=1.（2）假设存在直线l满足题意.由（1）知f1(-1,0)，易知直线l与x轴不重合，设l的方程为x=my-1，8,代入椭圆c的方程得(3 m2="">23=|AB|，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以2a=4，2c=|AB|=23，故a=2,c=3,b=1，所以所求的轨迹方程为x24+y2=1.选③，设P(x,y),S(x',0),T(0,y'),则x'+y'2=3(*)，因为OP=23OS+13OT，所以x=23x',y=13y',整理得x'=32x,y'=3y,代入（*）得x24+y2=1，所以所求的轨迹方程为x24+y2=1.（2）设Q(0,y0)，当l'的斜率不存在时，y0=0，符合题意；当l'的斜率存在时，设直线l'的方程为y=k(x-1)(k≠0)，M(x1,y1),N(x2,y2)，联立得y=k(x-1),x24+y2=1,消去y得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0，8,所以Δ＞0，x1+x2=8k21+4k2，设线段MN的中点为G(x3,y3)，则x3=x1+x22=4k21+4k2，y3=k(x3-1)=-k1+4k2，所以线段MN的垂直平分线的方程为y+k1+4k2=-1k(x-4k21+4k2)，把(0,y0)代入得y0=3k1+4k2=31k+4k，当k＜0时，1k+4k≤-4，当且仅当k=-12时，取等号，所以-34≤y0＜0；当k＞0时，1k+4k≥4，当且仅当k=12时，取等号，所以0</p<2，所以满足|mf'|+|mf|=1的点m不存在，②中结论错误；如图，作mn垂直于抛物线的准线（准线显然过点f'），垂足为n，则|mf|=|mn|，若|mf'|=2|mf|，则|mf'|=2|mn|，所以∠mf'n=45∘，又f'(0,-p2)，所以直线mf'的方程为y=-x-p2，代入抛物线的方程整理得x2+2px+p2=0，解得x1=x2=-p，此方程有两个相等的实数根，即直线mf'与抛物线只有一个公共点，根据对称性得满足|mf'|=2|mf|的点m有两个，③中结论错误.4.（2021天津西青高二期末）已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点a(2,0)，离心率为32.（1）求椭圆c的方程；（2）已知定点e(1,0)，若直线y=kx-2(k≠0)与椭圆c交于m、n两点，则是否存在实数k，使以线段mn为直径的圆过定点e？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.8,答案：（1）由题意得a2=b2+c2,ca=32,a=2,解得a2=4，b2=1，c2=3，所以椭圆c的方程为x24+y2=1.（2）假设存在实数k，使以线段mn为直径的圆过定点e，设m(x1,y1),n(x2,y2)，联立得y=kx-2,x24+y2=1,整理得(1+4k2)x2-16kx+12=0，所以δ=(-16k)2-4×12×(1+4k2)，x1+x2=16k1+4k2，x1⋅x2=121+4k2，若以mn为直径的圆过定点e，则em⊥en，所以em⋅en=(x1-1,y1)⋅(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-(2k+1)⋅(x1+x2)+5=0，所以(1+k2)×121+4k2-(2k+1)×16k1+4k2+5=0，解得k=1716，满足δ＞0，故存在实数k，使以线段mn为直径的圆过定点e，此时k=1716.5.（2020河北秦皇岛卢龙一中高二期末）已知点f1,f2是椭圆c:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点p是该椭圆上一点，当∠f1pf2=π3时，△pf1f2的面积取得最大值，为3,o为坐标原点.（1）求椭圆c的标准方程；（2）是否存在过左焦点f1的直线l，与椭圆c交于a，b两点，使得△oab的面积为1213？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.答案：（1）当点p在短轴的端点时，△pf1f2的面积取得最大值，所以bc=3，此时∠f1pf2=π3，∠opf1=π6，所以b=3c,又a2=b2+c2，所以a=2,c=1,b=3，所以椭圆c的标准方程为x24+y23=1.（2）假设存在直线l满足题意.由（1）知f1(-1,0)，易知直线l与x轴不重合，设l的方程为x=my-1，8,代入椭圆c的方程得(3>
