加练课5点、直线与椭圆的位置关系1.已知点P(a,1)在椭圆x22+y23=1的外部，则a的取值范围为()A.(-233,233)B.(233,+∞)∪(-∞,-233)C.(43,+∞)D.(-∞,-43)答案：B2.直线y=kx+1与椭圆x24+y2=1相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k=()A.-2B.-1C.-12D.1答案：C3.直线y=kx-k与椭圆x29+y24=1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定答案：A4.经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45∘的直线l，交椭圆于A，B两点.设O为坐标原点，则OA⋅OB等于()A.-3B.-13C.-3或-13D.±13答案：B5.若直线l:y-kx-1=0与椭圆x27+y2m=1恒有公共点，则m的取值范围是()A.（0，1）B.（0，7）C.[1,7)∪(7,+∞)D.[1,+∞）答案：C6.若点(m,n)在椭圆9x2+y2=9上，则nm-3的最小值为()A.-223B.-233C.-32D.-324答案：D7.（2021浙江杭州外国语学校高二期中）已知以F1(-2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A.32B.26C.27D.42答案：C6
8.（2021福建福州罗源一中高二月考）过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点F(2,0)的直线与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的坐标为(97,-57)，则C的方程为()A.x29+y25=1B.x25+y2=1C.x26+y22=1D.x210+y26=1答案：A9.设直线l:y=x+1与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)相交于A，B两点，与x轴相交于左焦点F，且AF=3FB，则椭圆的离心率e=.答案：22解析：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将y=x+1代入椭圆方程，消去x并化简得(a2+b2)y2-2b2y+b2(1-a2)=0，所以y1+y2=2b2a2+b2,y1y2=b2(1-a2)a2+b2，又AF=3FB，所以y1=-3y2，所以-2y2=2b2a2+b2，-3y22=b2(1-a2)a2+b2，所以-3(-b2a2+b2)2=b2(1-a2)a2+b2，化简得a2(a2+b2)-(a2+4b2)=0，又直线l:y=x+1过椭圆C的左焦点F，所以F(-1,0),所以a2-b2=c2=1，所以b2=a2-1，代入a2(a2+b2)-(a2+4b2)=0，得a4-3a2+2=0，所以a2=2或a2=1（舍去），所以a=2，故椭圆的离心率e=ca=22.素养提升练10.（多选题）设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是()A.直线AB与OM垂直B.若点M的坐标为(1，1)，则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1，则点M的坐标为(13,43)6
D.若直线方程为y=x+2，则|AB|=423答案：B;D解析：根据椭圆的中点弦的性质知kAB⋅kOM=-42=-2≠-1，即AB与OM不垂直，A中结论错误;因为kAB⋅kOM=-2，所以kAB=-2，所以直线方程为y-1=-2(x-1)，即2x+y-3=0，B中结论正确;若直线方程为y=x+1，点M(13,43)，则kAB⋅kOM=1×4=4≠-2，C中结论错误;若直线方程为y=x+2，与椭圆方程x22+y24=1联立，得3x2+4x=0，解得x1=0，x2=-43，所以|AB|=1+12|-43-0|=423，D中结论正确.故选BD.11.（2021宁夏银川长庆高级中学高二期中）过点M(1,1)且斜率为-12的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A、B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于()A.22B.33C.12D.13答案：A解析：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=2，y1+y2=2，kAB=y1-y2x1-x2=-12由x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,作差得(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0，所以2(x1-x2)a2+2(y1-y2)b2=0，即b2a2=-y1-y2x1-x2=12所以该椭圆的离心率e=ca=1-b2a2=12=22.12.（2021浙江浙北高二期中联考）已知直线l:y=kx+1(k∈R)，若直线l上总存在点M与两点A(-1,0)，B(1,0)连线的斜率之积为-3m(m＞0)，则实数m的取值范围是.答案：m≥13解析：设M(x,y)，则kMAkMB=yx+1×yx-1=y2x2-1=-3m，整理得x2+y23m=1，由题意知，直线l:y=kx+1与曲线x2+y23m=1总有公共点.易知直线y=kx+1过定点P(0,1)，6
当3 m=1时，曲线x2+y23m=1表示圆x2+y2=1，也过定点P(0,1)，满足题意；当3 m＞1时，曲线x2+y23m=1表示椭圆，定点P(0,1)在椭圆x2+y23m=1的内部，满足题意，此时m＞13；当0＜3 m＜1时，曲线x2+y23m=1表示椭圆，定点P(0,1)在椭圆x2+y23m=1的外部，此时直线与椭圆无公共点，不符合题意.综上，m≥13.13.已知椭圆C：x22 m2+y2m2=1(m＞2)，直线l过点P(1,1)交椭圆于A、B两点，且P为线段AB的中点.（1）求直线l的方程；（2）若|AB|=5|OP|，求m的值.答案：（1）∵12 m2+1m2=32 m2<1(m>2)，∴点P在椭圆内，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x122m2+y12m2=1,x222m2+y22m2=1,两式相减可得x12-x222 m2+y12-y22m2=0，即(x1+x2)(x1-x2)2 m2+(y1+y2)(y1-y2)m2=0，①∵点P(1,1)是线段AB的中点，∴x1+x2=2,y1+y2=2，由椭圆的对称性可知x1-x2≠0，①式两边同时除以x1-x2,可得22 m2+2m2⋅y1-y2x1-x2=0,设直线l的斜率为k，∴1+2k=0，解得k=-12，∴直线l的方程为y-1=-12(x-1)，即x+2y-3=0.（2）|OP|=12+12=2，由x22m2+y2m2=1,x+2y-3=0,得6y2-12y+9-2 m2=0，可得y1+y2=2，y1y2=9-2 m26，∴|AB|=1+1k2×(y1+y2)2-4y1y2=5|OP|=10，即1+4×4-2(9-2 m2)3=10，解得m=±3，又m＞2,∴m=3.创新拓展练6
14.（2021北京平谷高二期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=32，且过点B(0,1).（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为A，直线l过点B，且与椭圆交于另一点C（不同于A点），若有BA⊥AC，求直线l方程.答案：（1）由椭圆方程可知，椭圆的焦点在x轴，因为离心率e=32，且过点B(0,1)，所以b=1,ca=32,a2=b2+c2⇒a=2,c=3，所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.（2）当直线l的斜率不存在时，C(0,-1)，又椭圆的右顶点为A(2,0)，所以kAB=-12，kAC=12，又kAB⋅kAC≠-1，所以不满足BA⊥AC，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，C(x0,y0)联立得y=kx+1,x2+4y2=4⇒(1+4k2)x2+8kx=0，因为B(0,1)，所以C(-8k1+4k2,1-4k21+4k2)，因为BA⊥AC，kAB=-12，所以kAC=2，即kAC=1-4k2-8k-2-8k2=2，整理得12k2+16k+5=0，解得k=-56或k=-12（C与A重合，舍去），所以直线l的方程为y=-56x+1.综上，直线l的方程为y=-56x+1.15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为63，且经过点(32,12).（1）求椭圆C的方程;（2）过点P(0,2)的直线交椭圆C于A、B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值.答案：（1）由e2=a2-b2a2=1-b2a2=23得ba=33①，由椭圆C经过点(32,12)得94a2+14b2=1②，联立①②，解得b=1,a=3，∴椭圆C的方程是x23+y2=1.（2）由题意可知直线AB一定存在斜率，设其方程为y=kx+2，联立得y=kx+2,x23+y2=1,消去y得(1+3k2)x2+12kx+9=0，则Δ=144k2-36(1+3k2)＞0，得k2＞1，6
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=-12k1+3k2,x1⋅x2=91+3k2，∴S△AOB=|S△POB-S△POA|=12×2×|x1-x2|=|x1-x2|，∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1⋅x2=(-12k1+3k2)2-361+3k2=36(k2-1)(1+3k2)2，设k2-1=t(t＞0)，则(x1-x2)2=36t(3t+4)2=369t+16t+24≤3629t×16t+24=34，当且仅当9 t=16t，即t=43时等号成立，此时k2=73＞1，满足条件，此时△AOB面积取得最大值32.6
