微专题2圆锥曲线中的定点、定值问题1.（2020海南海口海南中学高二期中）已知P是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上异于点A(-a,0),B(a,0)的一点,E的离心率为32,则直线AP与BP的斜率之积为()A.-34B.34C.-14D.14答案：C2.直线l与抛物线C：y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且满足k1k2=23,则直线l过定点()A.(-3,0)B.(0,-3)C.(3,0)D.(0,3)答案：A3.(多选题)已知动点P在左、右焦点分别为F1、F2的双曲线C:x2-y23=1上运动,则下列结论正确的是()A.双曲线C的离心率为2B.当P在双曲线C的左支上时,|PF1||PF2|2的最大值为14C.点P到两渐近线的距离之积为定值D.双曲线C的渐近线方程为y=±33x答案：A;C解析：在双曲线C：x2-y23=1中,实半轴长a=1,虚半轴长b=3,半焦距c=2,双曲线的离心率e=ca=2,渐近线方程为y=±3x,故A中结论正确,D中结论错误;当P在双曲线C的左支上时,|PF1|≥c-a=1,|PF2|=2a+|PF1|=|PF1|+2,故|PF1||PF2|2=|PF1|(|PF1|+2)2=|PF1||PF1|2+4|PF1|+4=1|PF1|+4|PF1|+4≤124+4=18,当且仅当|PF1|=4|PF1|,即|PF1|=2时等号成立,所以|PF1||PF2|2的最大值为18,故B中结论错误;设P(x0,y0),则x02-y023=1,即3x02-y02=3,又渐近线方程为3x+y=0和3x-y=0,故P(x0,y0)到渐近线的距离之积为|3x0+y0|(3)2+12⋅|3x0-y0|(3)2+(-1)2=3x02-y024=34,为定值,故C中结论正确.4
4.（2021辽宁锦州联合校高二期末）直线l:4x-3y-4=0与抛物线y2=4x和圆(x-1)2+y2=1从左到右的交点依次是A,B,C,D,则|AB||CD|的值为()A.116B.18C.14D.12答案：A解析：由已知得抛物线y2=4x的焦点为(1,0)(也是圆的圆心),直线l:4x-3y-4=0过点(1,0),由y2=4x,4x-3y-4=0,整理得4x2-17x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=14,x2=4,所以|AB||CD|=|AF|-1|DF|-1=(x1+1)-1(x2+1)-1=x1x2=116.5.（2020安徽安庆一中高二期末）已知椭圆C：x24+y23=1,三角形ABC的三个顶点都在椭圆C上,设它的三边AB,BC,AC的中点分别为D,E,M,且三边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3(均不为0),O为坐标原点,若直线OD,OE,OM的斜率之和为1,则1k1+1k2+1k3=()A.-43B.-1813C.-32D.-3答案：A解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则x124+y123=1,x224+y223=1,两式相减得(x2-x1)(x2+x1)4=-(y2-y1)(y2+y1)3则x2+x1y2+y1=-4(y2-y1)3(x2-x1),所以1kAB=-43kOD,同理可得1kAC=-43kOM,1kBC=-43kOE,所以1k1+1k2+1k3=-43(kOD+kOM+kOE)=-43.素养提升练6.（2021辽宁盘锦大洼高级中学高二期末）已知抛物线C1:y2=2px(p＞0)与椭圆C2:x24+y23=1有一个相同的焦点,过点A(2,0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P,Q两点,P关于x轴对称的点为M.4
（1）求抛物线C1的方程;（2）试问：直线MQ是否过定点？若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.答案：（1）由题意可知抛物线C1的焦点为椭圆C2的右焦点,坐标为(1,0),所以p=2,所以抛物线C1的方程为y2=4x.（2）因为点P与点M关于x轴对称,所以设直线PQ的方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(x1,-y1),将直线PQ的方程代入y2=4x得k2x2-4(k2+1)x+4k2=0,所以x1x2=4,设直线MQ的方程为y=mx+n,代入y2=4x得m2x2+(2mn-4)x+n2=0,所以x1x2=n2m2=4,因为x1＞0,x2＞0,所以nm=2,即n=2 m,所以直线MQ的方程为y=m(x+2),所以直线MQ过定点(-2,0).7.（2021四川绵阳南山中学高二期中）已知点P(x,y)(x≥0)到点(12,0)的距离比到y轴的距离大12,点P的轨迹为曲线C,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点.（1）求曲线C的方程;（2）证明：以线段AB为直径的圆过原点O.答案：（1）由题意得(x-12)2+y2-x=12,化简得y2=2x,所以曲线C的方程为y2=2x.（2）证明：当l的斜率不存在时,直线l:x=2,A(2,2),B(2,-2),则OA⋅OB=2×2-2×2=0;当l的斜率存在时,设l:y=k(x-2)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y=k(x-2),y2=2x,整理得k2x2-(4k2+2)x+4k2=0,∴Δ＞0,x1+x2=4k2+2k2,x1x2=4,∴OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=(1+k2)×4-2k2×4k2+2k2+4k2=0.综上所述,OA⋅OB=0,∴OA⊥OB,故以线段AB为直径的圆过原点O.4
8.（2021辽宁朝阳凌源联合校高二期中）已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F,过F且斜率为43的直线l与抛物线C交于A,B两点,B在x轴的上方,且点B的横坐标为4.（1）求抛物线C的标准方程;（2）设点P为抛物线C上异于A,B的点,直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E,G两点,x轴与准线的交点为H,求证：|HG|⋅|HE|为定值.答案：（1）由题意得F(p2,0),因为点B的横坐标为4,且B在x轴的上方,所以B(4,8p),因为直线AB的斜率为43,所以8p4-p2=43,整理得p+32p-8=0,即(p-2)(p+42)=0,解得p=2(负值舍去),所以抛物线C的标准方程为y2=4x.（2）证明：由(1)得B(4,4),F(1,0),准线方程为x=-1,直线l的方程为y=43(x-1),由y=43(x-1),y2=4x,解得x=14,y=-1或x=4,y=4,所以A(14,-1).设点P(n24,n),n≠-1且n≠4,所以直线PA:y+1=4n-1⋅(x-14),令x=-1,得y=-n+4n-1,即|HE|=|-n+4n-1|,同理可得|HG|=|4n-4n+4|,所以|HG|⋅|HE|=|-n+4n-1|⋅|4n-4n+4|=4,所以|HG|⋅|HE|为定值4.4
