圆锥曲线中的最大(小)值与范围问题的解法一、选择题1.(2021吉林长春外国语学校高二上期中,)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )A.-12,12B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]2.(2021重庆八中高二上期中,)若点O和点F分别为双曲线x22-y2=1的中心和左焦点,点P为该双曲线上的任意一点,则OP·FP的最小值为( )A.2+6B.2-6C.12D.-323.(2021浙江诸暨中学高二月考,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1、F2为其左、右焦点,若椭圆上存在点P满足|PF1|=2|PF2|,则该椭圆的离心率的范围是( )A.0,13B.13,1C.0,13D.13,14.(2021天津耀华中学高二上期中,)已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,|F1F2|=4,点Q(2,2)在椭圆C上,P是椭圆C上的动点,则PQ·PF1的最大值为( )A.4B.92C.5D.4+25.(2021天津六校高二上期中,)M是抛物线y2=4x上一点,N是圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线x-y-1=0的对称圆上的一点,则|MN|的最小值是( )A.112-1B.3-1C.22-1D.32二、填空题6.(2021上海复旦大学附属中学高二上期中,)在直角坐标平面内的△ABC中,A(-2,0)、C(2,0),若sinA+sinC=2sinB,则△ABC面积的最大值为 . 7.(2021江西上高二中高二上月考,)已知A(0,1)为椭圆x2+4y2=4上一定点,点P为椭圆上异于A的一动点,则|AP|的最大值为 . 8.(2021北京首都师范大学附中高二上期中,)设F1为椭圆C:x22+y2=1的左焦点,P为椭圆C上给定一点,以PF1为直径作圆Γ,点Q为圆Γ上的动点,则坐标原点O到Q的距离的最大值为 . 8,三、解答题9.(2020天津和平高二上期末,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点1,32,一个焦点为(3,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=k(x-1)(k≠0)与x轴交于点P,与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q,求|AB||PQ|的取值范围.10.()某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖,如图所示,AB=4(单位:十米,以下同),O为AB的中点,椭圆的焦点P在对称轴OD上,M,N在椭圆上,MN平行AB交OD于G,且G在P的右侧,△MNP为灯光区,用于美化环境.(1)若椭圆的离心率为55,且PG=1,求△MNP的面积;(2)若学校的另一条道路EF满足OE=3,tan∠OEF=2,为确保道路安全,要求椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于55,求半椭圆形状的小湖的最大面积.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为πab11.(2021湖南永州第一中学高二上第一次月考,)已知P(2,0)为椭圆C:（a＞b＞0）的右顶点，点M在椭圆C于A,B两点，当点M与坐标原点O重合时，直线PA，PB的斜率之积为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若AM=2MB,求△OAB面积的最大值.8,8,答案全解全析一、选择题1.C ∵y2=8x,∴Q(-2,0),设过Q点的直线l方程为y=k(x+2).∵l与抛物线有公共点,∴方程组y2=8x,y=k(x+2)有解,即k2x2+(4k2-8)x+4k2=0有解,∴Δ=(4k2-8)2-16k4≥0,即k2≤1.∴-1≤k≤1,故选C.2.B 由题意,点O(0,0),点F(-3,0),设点P(x,y),则x22-y2=1,y2=x22-1,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以OP=(x,y),FP=(x+3,y),所以OP·FP=x(x+3)+y2=x2+3x+x22-1=32x+332-32,所以当x=-2时,OP·FP取得最小值,为32×-2+332-32=2-6.故选B.3.D 依题意得,|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,∴2a=3|PF2|,∴23a=|PF2|,从而a-c≤23a≤a+c,解得e=ca≥13,又e<1,∴13≤e<1,故选D.4.B 由题意可得,c=2,4a2+2b2=1,a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,所以椭圆的方程为x28+y24=1,可得F1(-2,0),设P(x,y),则x28+y24=1,所以可得x2=8-2y2,则PQ·PF1=(2-x,2-y)·(-2-x,-y)=x2-4+y2-2y=-y2-2y+4=-y+222+92,当且仅当y=-22∈[-2,2]时,PQ·PF1取得最大值,为92,故选B.5.C 设圆C:(x-1)2+(y-2)2=1,则圆心为C(1,2),半径为1,易知点C关于直线x-y-1=0的对称点为C'(3,0),则|MN|≥|C'M|-|C'N|=|C'M|-1,设M的坐标为(x,y),由于M在y2=4x上,∴|C'M|=(x-3)2+y2=x2-2x+9=(x-1)2+8≥22,8,∴|MN|的最小值为22-1.故选C.二、填空题6.答案 43解析 因为sinA+sinC=2sinB,|AC|=4,所以|BC|+|AB|=2|AC|=8>|AC|,所以点B的轨迹是以A、C为左、右焦点,2a=8为长轴长的椭圆(除去长轴端点),该椭圆焦距2c=4,所以b2=a2-c2=12,所以点B的轨迹方程为x216+y212=1(y≠0),当x=0时,y=±23,所以△ABC面积的最大值为12×4×23=43.7.答案 433解析 椭圆方程可化为x24+y2=1.由点P在椭圆上,设P(2cosθ,sinθ),又A(0,1),∴|PA|2=4cos2θ+(sinθ-1)2=-3sin2θ-2sinθ+5=-3sinθ+132+163.又-1≤sinθ≤1,∴当sinθ=-13时,|PA|2取得最大值163,因此,|PA|max=163=433.8.答案 2解析 设PF1的中点为M,椭圆的右焦点为F2,连接OM,PF2,QM,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=22,由OM为△PF1F2的中位线,可得|OM|=12|PF2|,又|QM|=12|PF1|,∴|OQ|≤|OM|+|MQ|=12|PF1|+12|PF2|=12×2a=a=2,当且仅当O,M,Q三点共线时,|OQ|取得最大值,为2.8,三、解答题9.解析 (1)由题意得a2-b2=3,1a2+34b2=1,解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程是x24+y2=1.(2)由y=k(x-1),x24+y2=1,得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=8k21+4k2,x1x2=4k2-41+4k2,y1+y2=k(x1+x2-2)=-2k1+4k2.所以线段AB的中点坐标为4k21+4k2,-k1+4k2,所以线段AB的垂直平分线方程为y--k1+4k2=-1kx-4k21+4k2.于是,线段AB的垂直平分线与x轴的交点为Q3k21+4k2,0,又点P(1,0),所以|PQ|=1-3k21+4k2=1+k21+4k2.又|AB|=(1+k2)8k21+4k22-4×4k2-41+4k2=4(1+k2)(1+3k2)1+4k2,于是,|AB||PQ|=4(1+k2)(1+3k2)1+4k21+k21+4k2=41+3k21+k2=43-21+k2.因为k≠0,所以1<3-21+k2<3.所以|AB||PQ|的取值范围为(4,43).10.信息提取 ①半椭圆形状的小湖,AB=4(单位:十米),O为AB的中点;②椭圆的焦点P在对称轴OD上,M,N在椭圆上,MN平行AB交OD于G,且G在P的右侧;③椭圆的离心率为55,且PG=1,求△MNP的面积;④道路EF满足OE=3,tan∠OEF=2.数学建模 以半椭圆形状的小湖为背景,建立椭圆模型.解析 (1)以AB所在的直线为y轴,OD所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).8,由题意可知,b=2,e=ca=55,又a2=b2+c2,∴a=5,c=1,∴椭圆方程为x25+y24=1,易知xG=2,∴yM=255,则S△PMN=12×1×455=255(百平方米).(2)由题意可知直线EF的方程为x+2y-6=0,因为椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于55,所以椭圆面积最大时与一条平行于x+2y-6=0且距离为55的直线相切,设直线l:x+2y+m=0(m≠-6),由两条直线之间的距离为55,可得|m+6|5=55,解得m=-5或m=-7(舍),设椭圆方程为x2a2+y24=1(a>0),联立方程x2a2+y24=1,x+2y-5=0,得(a2+16)x2-10a2x+9a2=0,∵Δ=0,∴a2=9,a=3,12×3×2×π=3π,即半椭圆形状的小湖的最大面积为3π百平方米.11.解析 (1)∵P(2,0)为椭圆的右顶点,∴a=2,∴椭圆方程为x24+y2b2=1.当点M与坐标原点重合时,设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),kPA·kPB=y12x12-4=-14.又x124+y12b2=1,∴y12=b2(4-x12)4,∴b2(4-x12)4x12-4=-14,即-b24=-14,∴b2=1.∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)设直线AB的方程为x=ty+m(t≠0),-2≤m≤2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x=ty+m,x2+4y2=4,得(4+t2)y2+2mty+m2-4=0,则Δ>0恒成立,8,∴y1+y2=-2mt4+t2,y1y2=m2-44+t2,∵AM=2MB,∴y1=-2y2,∴-y2=-2mt4+t2,-2y22=m2-44+t2,∴m2=4t2+169t2+4.∴△OAB的面积S=12|m(y1-y2)|=32|my2|,∴S2=94m2·y22=94×4t2+169t2+4×16t2(4+t2)(9t2+4)=9×16t2(9t2+4)2.∴S=12|t|9t2+4=129|t|+4|t|≤1,当且仅当t2=49时取等号.∴△OAB面积的最大值为1.8
