直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2021吉林长春外国语学校高二上期中,)已知椭圆x23+y24=1的弦被点(1,1)平分,那么这条弦所在的直线方程为( )A.4x+3y-7=0B.4x-3y-7=0C.3x+4y-1=0D.3x-4y-1=02.(2021天津一中高二上期中,)过椭圆9x2+25y2=225的右焦点,且倾斜角为45°的弦AB的长为( )A.5B.6C.9017D.73.(2021湖南永州第一中学高二上第一次月考,)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MA·MB=0,则k=( )A.2B.22C.12D.24.(2020河北唐山一中高二上期中,)直线x-3y+3=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点,交y轴于点C.若FC=2CA,则该椭圆的离心率为( )A.3-1B.3-12C.22-2D.2-15.(2021江西上高二中高二上月考,)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方.若|AB|=3,△ABF2的内切圆的面积为9π16,则直线AF2的方程是(深度解析)A.3x+2y-3=0B.2x+3y-2=0C.4x+3y-4=0D.3x+4y-3=0二、填空题6.()过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线和双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为 . 7.(2021上海复旦大学附属中学高二上期中,)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,且c=3b,若椭圆E经过A,B两点,且AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=r2的一条直径,则直线AB的方程为 . 9,8.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学期末,)如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线,与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP的延长线与x轴分别相交于M,N两点.如果直线QB的斜率与直线PB的斜率的乘积为-3,则∠MBN= . 三、解答题9.(2021天津一中高二上期中,)已知直线x+y-1=0与椭圆C:b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)相交于A,B两点,且线段AB的中点M在直线l:x-2y=0上.(1)求椭圆C的离心率;(2)若椭圆C的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上,求椭圆C的方程.10.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点与左、右顶点连线的斜率之积为-14.(1)求椭圆C的离心率;(2)若直线y=12(x+1)与椭圆C相交于A、B两点,△AOB(O为坐标原点)的面积为74,求椭圆C的标准方程.9,11.(2021上海复旦大学附属中学高二上期中,)如图,已知双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),两条渐近线的夹角的余弦值为35,焦点到渐近线的距离为1.M、N两动点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一象限和第四象限,P是直线MN与双曲线右支的一个公共点,MP=λPN.(1)求双曲线C的方程;(2)当λ=1时,求PM·PN的取值范围;(3)试用λ表示△MON的面积S,设双曲线C上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω,若λ5∈Ω,求S的取值范围.深度解析9,答案全解全析一、选择题1.A 设这条弦所在直线与椭圆x23+y24=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2),则x123+y124=1,①x223+y224=1,②由中点坐标公式知x1+x2=2,y1+y2=2,∴①-②可得8(x1-x2)+6(y1-y2)=0,∴kPQ=y1-y2x1-x2=-43,∴这条弦所在的直线方程为y-1=-43(x-1),即4x+3y-7=0.故选A.2.C 由9x2+25y2=225得x225+y29=1,a2=25,b2=9,所以c2=16,故椭圆右焦点的坐标为(4,0),直线AB的方程为y=x-4,由y=x-4,x225+y29=1,得34x2-200x+175=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=10017,x1x2=17534,故|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+1)×100172-4×17534=9017.故选C.3.D 由y2=8x知F(2,0).设直线AB的方程为x=my+2其中m=1k.由y2=8x,x=my+2,得y2-8my-16=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-16,y1+y2=8m,∴x1+x2=my1+2+my2+2=8m2+4,x1·x2=y128·y228=(-16)282=4.又MA=(x1+2,y1-2),MB=(x2+2,y2-2),∴MA·MB=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=4+16m2+8+4-16-16m+4=0,化简得4m2-4m+1=0,解得m=12,故k=1m=2,故选D.4.A 在x-3y+3=0中,令y=0,得x=-3,∴F(-3,0).9,令x=0,得y=1,∴C(0,1),设A(x1,y1),则FC=(3,1),CA=(x1,y1-1),由FC=2CA得2x1=3,2(y1-1)=1,解得x1=32,y1=32.∴A32,32.设椭圆的右焦点为F'(3,0).由A在椭圆上,得2a=|AF|+|AF'|=274+94+34+94=3+3,∴e=ca=2c2a=233+3=3-1,故选A.5.D 如图所示,在椭圆x2a2+y2b2=1中,令x=-c,得y2=b21-c2a2=b4a2,∴|AB|=2|y|=2b2a=3.①又△ABF2内切圆的面积为9π16,∴内切圆的半径r=34.又S△ABF2=12|AB|×|F1F2|=12×3×2c=3c,S△ABF2=12×4a×r=32a,∴3c=32a,即a=2c,∴b2=3c2,代入①得c=1,a=2,b=3.因此A-1,32,F2(1,0),直线AF2的方程为y-0=-34(x-1),即3x+4y-3=0,故选D.解题模板 用代数法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,一般不解方程组,但当直线过圆锥曲线中心或垂直于圆锥曲线的对称轴时,可解方程组求交点坐标;解决与三角形内切圆有关的问题时,通常利用面积进行求解.二、填空题6.答案 (5,10)解析 由x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)得,双曲线的渐近线方程为y=±bax.结合图形(图略)知,2<ba<3⇒2a<b<3a⇒4a2<c2-a2<9a2⇒5a2<c2<10a2⇒5<e2<10⇒5<e<10.故双曲线离心率的取值范围是(5,10).9,7.答案 x-2y="">b>0),即x2a2+y2b2=1.(1)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由x+y-1=0,x2a2+y2b2=1得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0.则Δ=(-2a2)2-4(a2+b2)(a2-a2b2)>0,即a2+b2>1,x1+x2=2a2a2+b2,从而y1+y2=-(x1+x2)+2=2b2a2+b2,9,∴点M的坐标为a2a2+b2,b2a2+b2.又点M在直线l上,∴a2a2+b2-2b2a2+b2=0,∴a2=2b2=2(a2-c2),即a2=2c2,∴e=ca=22.(2)由(1)知b=c,设椭圆的右焦点F(b,0),关于直线l:y=12x的对称点为(x0,y0),由y0-0x0-b·12=-1,y02=12·x0+b2,解得x0=35b,y0=45b.∵x02+y02=4,∴35b2+45b2=4,于是b2=4,∴a2=2b2=8,显然有a2+b2>1.∴所求的椭圆的方程为x28+y24=1.10.解析 (1)由题意知,椭圆上顶点的坐标为(0,b),左、右顶点的坐标分别为(-a,0),(a,0),∴ba·-ba=-14,即a2=4b2,则a=2b,又a2=b2+c2,∴c=3b,∴椭圆的离心率e=ca=32.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由x24b2+y2b2=1,y=12(x+1),得2x2+2x+1-4b2=0,∴x1+x2=-1,x1x2=1-4b22,∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=52(x1+x2)2-4x1x2=528b2-1,又原点O到直线的距离d=15,∴12·|AB|·d=74,∴8b2-1=7,∴b2=1,满足Δ=32b2-4>0,∴a2=4,∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1.9,11.解析 (1)双曲线的渐近线方程为bx±ay=0.设渐近线的夹角为2θ,由a>0,b>0得tanθ=ba,因此cos2θ=cos2θ-sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=a2-b2a2+b2=35⇒a2=4b2.又|bc|b2+a2=1⇒b=1⇒a2=4,所以双曲线C的方程为x24-y2=1.(2)由题意,设M(2m,m),N(2n,-n),m>0,n>0,当λ=1时,MP=PN,则Pm+n,m-n2,所以(m+n)24-(m-n)24=1,整理得mn=1.又PM=m-n,m+n2,PN=n-m,-n-m2,所以PM·PN=-(m-n)2-(m+n)24=-54(m2+n2)+32mn≤-54·2mn+32=-1,当且仅当m=n=1时,等号成立,所以PM·PN∈(-∞,-1].(3)同(2),设M(2m,m),N(2n,-n),m>0,n>0,由MP=λPN得OP-OM=λ(ON-OP),即(1+λ)OP=OM+λON,则OP=11+λOM+λ1+λON=2m+2λn1+λ,m-λn1+λ.所以P2m+2λn1+λ,m-λn1+λ.把点P的坐标代入双曲线的方程得2m+2λn1+λ24-m-λn1+λ2=1,即(m+λn)2-(m-λn)2=(1+λ)2,所以mn=(1+λ)24λ.当直线MN的斜率不存在时,其方程为x=2m.当直线MN的斜率存在时,kMN=m+n2m-2n,此时直线MN的方程为y-m=m+n2m-2n(x-2m),即(m+n)x-(2m-2n)y-4mn=0,经检验,斜率不存在时,直线方程也满足上式,所以直线MN的方程为(m+n)x-(2m-2n)y-4mn=0,所以点O到直线(m+n)x-(2m-2n)y-4mn=0的距离d=|-4mn|(m+n)2+4(m-n)29,=4mn(m+n)2+4(m-n)2,又|MN|=(2m-2n)2+(m+n)2=4(m-n)2+(m+n)2,所以S=12·|MN|·d=2mn=(1+λ)22λ=12λ+1λ+1.记双曲线的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),P(x,y)(x≥2),则|PF1|>|PF2|,又|PF2|=(x-5)2+y2=x2-25x+5+14x2-1=54x2-25x+4=52x-2=52x-2,所以|PF2|∈[5-2,+∞),即双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围Ω=[5-2,+∞),因为λ5∈Ω,所以λ∈[55-10,+∞),令f(x)=12x+1x+1,x∈[55-10,+∞),任取x1,x2∈[55-10,+∞),且x1</ba<3⇒2a<b<3a⇒4a2<c2-a2<9a2⇒5a2<c2<10a2⇒5<e2<10⇒5<e<10.故双曲线离心率的取值范围是(5,10).9,7.答案>
