3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系的判定一、基础过关1．空间直角坐标系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系为________(平行、垂直或无法确定)．2．已知平面α的一个法向量是n＝(1,1,1)，A(2,3,1)，B(1,3,2)，则直线AB与平面α的关系是______________．3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.4．已知A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,1，x)，若AD⊂平面ABC，则实数x的值是_____．5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.6．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上结论中正确的是__________(填序号)．二、能力提升7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．8．如图所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、D1D、DC的中点，-5-\nN是BC中点，点M的四边形EFGH及其内部运动，则M只须满足条件________时，MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一条即可)．9．如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系．10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.11．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2，BB1＝3，D是A1C1的中点．证明：A1B∥平面B1DC.三、探究与拓展13．如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?-5-\n答案1．平行 2．AB∥α或AB⊂α3．3 4．0 5．－3 6．①③④7．平行8．M在FH上9．解 如图，建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为2，易得E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)．∴＝(0，－1,1)，＝(1,0,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)．设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG，平面HMN的法向量，由⇒令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．由得令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．∴m＝n，故m∥n，即平面EFG∥平面HMN.10．证明 建系如图，设正方体的棱长为1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O(，，1)，C1(0,1,1)，＝(－1,0，－1)，＝，＝.设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则得令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，-5-\n∴n＝(1,1，－1)．又·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，∴⊥n，又B1C⊄平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.11．证明 建立如图所示的空间直角坐标系．设AC∩BD＝N，连结NE，则点N、E的坐标分别是、(0,0,1)．∴＝.又点A、M的坐标分别是(，，0)、，∴＝.∴＝，且A∉NE，∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.12．证明 如图，以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B1(0,0,3)，C(0，，0)，D，A1(，0,3)．＝(－，0，－3)，＝，＝，-5-\n设平面B1DC的法向量为n＝(x，y，z)，则取n＝，由于·n＝0，且A1B⊄平面B1DC，所以A1B∥平面B1DC.13．解 如图所示，分别以DA、DC、DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连结BQ，D1Q.设正方体的棱长为1，则O，P，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，则Q(0,1，z)，则＝，＝(－1，－1,1)，∴∥，∴OP∥BD1.＝，＝(－1,0，z)，当z＝时，＝，即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ，∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.-5-
