3.1.4 空间向量的坐标表示一、基础过关1．在空间直角坐标系O—xyz中，下列说法正确的是________．(填序号)①向量与点B的坐标相同；②向量与点A的坐标相同；③向量与向量的坐标相同；④向量与向量－的坐标相同．2．对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下面三个命题：①a∥b⇔＝＝；②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；③a－b＝(b1－a1，b2－a2，b3－a3)．其中真命题的个数为________．3．已知A(1,2，－1)关于xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则＝________.4．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的________________条件．5．若a＝(3,2,4)，b＝(6，m,8)，且a∥b，则m＝________.6．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为____________．7．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是______________．二、能力提升8．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，当a，b，c三向量共面时，实数λ＝________.9．一个向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为__________．10．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．若(ka＋b)∥(a－3b)，求k.11．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求的坐标．12.在棱长为1的正方体OABC—O1A1B1C1中，M，N分别是面OAA1O1和面O1A1B1C1的中心．-4-\n(1)试用基底，，表示；(2)试建立适当的空间直角坐标系，并求向量，，的坐标．三、探究与拓展13.如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且PA＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是棱O1B1、AE的中点．求证：PQ∥RS.-4-\n答案1．④ 2．0 3．(0，－4，－2)4．充分不必要5．4 6．(5,13，－3)7．(12,14,10) 8．9．10．解 ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1－3×(－2)，5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－.11．解 ∵PA＝AB＝AD＝1，且PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，∴可设＝i，＝j，＝k.以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(－＋＋)＝＋＝i＋k，∴＝.12．解 (1)如图，＝(＋)，＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)∴＝－＝＋＋－－-4-\n＝＋.(2)如图在空间直角坐标系O—xyz中，＝i，＝j，＝k，则＝i＋k＝.＝i＋j＋k＝.∴＝－＝i＋j＋k－＝.13．证明 如图，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)．∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，Q、R分别是棱O1B1、AE的中点，∴P，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S.于是＝＝.∴∥.∵R∉PQ，∴PQ∥RS.-4-
