3.2.3 空间的角的计算一、基础过关1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于________．2．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．3．已知A∈α，P∉α，＝，平面α的一个法向量n＝，则直线PA与平面α所成的角为__________．4．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为________．5．如图，在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为____________．6．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是______．二、能力提升7．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为________．8．设ABCD、ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角为________．9．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求异面直线AE与CF所成角的余弦值．10．如图，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.-5-\n(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．11．如图，四棱锥F—ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD＝.CF与平面ABCD垂直，CF＝2.求二面角B—AF—D的大小．三、探究与拓展12．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求二面角B－DE－C的大小．-5-\n答案1．60° 2．60° 3．60° 4．90° 5．6．90° 7．60° 8．60°9．解 不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1,1,2)，由＝(－1,0,2)，＝(1，－1,2)，得||＝，||＝.∴·＝－1＋0＋4＝3.又·＝||·||·cos〈，〉＝cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.10．解 (1)如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D—xyz.则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．连结BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，由·＝||||cos〈，〉，可得2m＝.解得m＝，所以＝.因为cos〈，〉-5-\n＝＝，所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0,1,0)．因为cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°.可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.11．解 过点A作AE⊥平面ABCD.以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是B，D，F(0,2,2)．设平面ABF的法向量n1＝(x，y，z)，则由得令z＝1，得所以n1＝(－，－1,1)．同理，可求得平面ADF的法向量n2＝(，－1,1)．由n1·n2＝0知，平面ABF与平面ADF垂直，所以二面角B—AF—D的大小等于.12．(1)证明 ∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC.-5-\n以H为坐标原点，为x轴正方向，为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设BH＝1，则A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1)．设AC与BD的交点为G，连结GE，GH，则G(0，－1,0)，∴＝(0,0,1)．又＝(0,0,1)，∴∥.又GE⊂平面EDB，HF⊄平面EDB，∴FH∥平面EBD.(2)证明 ＝(－2,2,0)，＝(0,0,1)，·＝0，∴AC⊥GE.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)解 ＝(－1，－1,1)，＝(－2，－2,0)．设平面BDE的法向量为n1＝(1，y1，z1)，则·n1＝－1－y1＋z1＝0，·n1＝－2－2y1＝0，∴y1＝－1，z1＝0，即n1＝(1，－1,0)．＝(0，－2,0)，＝(1，－1,1)．设平面CDE的法向量为n2＝(1，y2，z2)，则n2·＝0，y2＝0，n2·＝0，1－y2＋z2＝0，z2＝－1，故n2＝(1,0，－1)．cos〈n1，n2〉＝＝＝，∴〈n1，n2〉＝60°，即二面角B－DE－C的大小为60°.-5-
