3.2.2 函数的和、差、积、商的导数一、基础过关1．下列结论不正确的是________．(填序号)①若y＝3，则y′＝0；②若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3；③若y＝－＋x，则y′＝－＋1；④若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx.2．已知f(x)＝x3＋3x＋ln3，则f′(x)＝__________.3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.4．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.5．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2s时的瞬时速度为________．7．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(－2)2；(3)y＝x－sincos.二、能力提升8．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．9．曲线y＝x(x－1)(x－2)…(x－6)在原点处的切线方程为__________．10．若函数f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.11．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．12．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．三、探究与拓展13．已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l-4-\n的方程．-4-\n答案1．④2．3x2＋3x·ln33．－24．－25.6．0.4m/s7．解 (1)方法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.方法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(－2)2＝x－4＋4，∴y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4·x－＝1－2x－.(3)∵y＝x－sincos＝x－sinx，∴y′＝x′－(sinx)′＝1－cosx.8．49．y＝720x10．611．解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.12．(1)解 由7x－4y－12＝0得-4-\ny＝x－3.当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②由①，②得解之得.故f(x)＝x－.(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.13．解 设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.①对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即y＝－2(x2－2)x＋x－4.②因为两切线重合，所以由①②，得解得或所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.-4-
