【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第二章函数的概念与基本初等函数I二次函数与幂函数理（含2022试题）理数1.(2022周宁、政和一中第四次联考，6)已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）A.3 B.2 C.1 D. [答案]1. B[解析]1. ，顶点坐标为，，又成等比数列，.2.(2022重庆市高三九校一月联合诊断考试，7,5分)下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 （ ）A．①②③④ B．①②③④ C．①②③④ D．①②③④ [答案]2.B [解析]2.①中图象是上升的，且关于原点对称，所以该幂函数在定义域上是增函数，且是奇函数，在区间内的幂函数图象在直线的上方，所以大致对应函数；②中图象关于轴对称，是偶函数，所以大致对应函数；③中图象仅在第一象限，所以该幂函数的定义域是，所以大致对应函数；④中图象关于原点对称，并且与没有交点，所以该幂函数是奇函数，且定义域是，所以大致对应函数，故选B.14\n3.(2022北京西城区高三三月模拟，7,5分)已知函数，其中．若对于任意的，都有，则的取值范围是( )（A）（B）（C）（D）[答案]3.D [解析]3.,由，得，即.当，即时，函数在上单调递增，所以.此式恒成立.故；当，即时，函数在上的最小值为，所以，解得.所以；综上，.4.(2022湖南长沙市高三三月模拟，8,5分)使得函数的值域为的实数对有( )对.A．1 B．2 C．3 D．无数[答案]4.B [解析]4.，要使的值域为，①若不处于一个单调区间上，由于，所以.令，得，解得.故14\n.所以实数对满足题意；②若处于一个单调区间上，由于不是处于一个单调区间上，所以只有满足的实数对才满足要求.由得，即，此方程是四次方程，最多有4个实数解，（i）显然满足的实数解一定满足；（ii）由于故.故4个实数解都求出，没有其他解了.所以处于同一个单调区间上的实数对只有满足题意；综上，实数对有，共2对.5.(2022年辽宁省五校协作体高三第二次模拟考试，10,5分)已知函数的两个零点分别在区间和区间内，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．[答案]5.A [解析]5.由零点原理可知，即解得.6.（2022年四川成都市高新区高三4月月考，6,5分）在区间内任取两个数，则使方程的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率为( )A. B. C. D.[答案]6.C 14\n[解析]6.要使方程的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率，需满足，设，故需满足即两个数的整个取值空间表示的可行域如下图黑色与红色部分所示的正方形，在整个取值空间内，不等式组表示的可行域如下图黑色阴影部分所示，故由几何概型得，所求概率为.7.（2022重庆，6,5分）若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内[答案]7.A[解析]7.易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b).又a<b<c,则f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,又该函数是二次函数,且开口向上,可知两根分别在(a,b)和(b,c)内,选A.8.（2022重庆，3,5分）(-6≤a≤3)的最大值为( )A.9 B. C.3 D.[答案]8.B[解析]8.易知函数y=(3-a)(a+6)的两个零点是3,-6,对称轴为a=-,y=(3-a)(a+6)的最大14\n值为y==,则的最大值为,选B.9.（2022广东，2,5分）定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中,奇函数的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.1[答案]9.C[解析]9.函数y=x3,y=2sinx为奇函数,y=2x为非奇非偶函数,y=x2+1为偶函数,故奇函数的个数是2,故选C.10.（2022江西，9,5分）过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( )A. B.- C.± D.-[答案]10.B[解析]10.如图,设直线AB的方程为x=my+(显然m<0),A(x1,y1),B(x2,y2),P(,0),联立消去x得(1+m2)y2+2my+1=0,由题意得Δ=8m2-4(1+m2)>0,所以m2>1,由根与系数的关系得y1+y2=-,y1·y2=,∴S△AOB=S△POB-S△POA=·|OP|·|y2-y1|=·=·.令t=1+m2(t>2),∴S△AOB=·=·,∴当=,即t=4,m=-时,△AOB的面积取得最大值,此时,直线l的斜率为-,故选B.11.（2022山东，12,5分）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,+14\n-的最大值为( )A.0 B.1 C. D.3[答案]11.B[解析]11.由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,∴==.又x、y、z为正实数,∴+≥4,当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2.∴+-=+-=-+=-+1,当=1,即y=1时,上式有最大值1,故选B.12.（2022辽宁，11,5分）已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )A.16 B.-16 C.a2-2a-16 D.a2+2a-16[答案]12.B[解析]12.令f(x)=g(x),即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,即x2-2ax+a2-4=0,解得x=a+2或x=a-2.f(x)与g(x)的图象如图.由题意知H1(x)的最小值是f(a+2),H2(x)的最大值为g(a-2),故A-B=f(a+2)-g(a-2)=(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16.13.(2022江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.[答案]13.[解析]13.要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,只需即解得-<m<0.14.(2022安徽合肥高三第二次质量检测，14)关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________.14\n[答案]14. [解析]14.令，当时，不等式的解集为，则15.(2022北京东城高三第二学期教学检测，14)设，若时均有，则______________.[答案]15.[解析]15. 当时，显然不成立，所以。设，，则。易知这两个函数都过，因为过点可得：a＞1；则函数显然过点，代入得：(舍)或.16.(2022江苏苏北四市高三期末统考,10)已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．[答案]16. [解析]16. 当时，，当时，，此时函数单调递增，由，解得，由图象知，要不等式成立，则，即，故不等式的解集为.14\n17. (2022吉林高中毕业班上学期期末复习检测,16)下列说法正确的有 (只填序号)①函数的图象与直线的交点个数为0或1;②设函数,若当时，总有，则；③时，函数的值域为；④与函数的图象关于点对称的图象对应的函数为.[答案]17. ①②④[解析]17. 函数与直线的交点个数为0个，（此时1不属于定义域）或1个（1属于定义域），故①正确；因为二次函数图象的对称轴为，开口向上，若当时，总有，则，解得，故②正确.由时，真数的判别式大于等于0，即真数可以为任意实数，此时函数的值域为，故③错误；根据对称变换法则，与函数关于点对称的函数，故④正确.综上所述，正确的是①②④.18.（2022浙江，17,4分）设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于 .[答案]18.2[解析]18.|b|==,当x=0时,由于b≠0,所以y≠0,此时=0;当x≠0时,===≤=2,当=-取等号.故的最大值为2.14\n19.（2022江苏，13,5分）在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为 . [答案]19.-1或[解析]19.设P,则|PA|2=(x-a)2+=-2a+2a2-2,令t=x+≥2(当且仅当x=1时取“=”号),则|PA|2=t2-2at+2a2-2.(1)当a≤2时,(|PA|2)min=22-2a×2+2a2-2=2a2-4a+2,由题意知,2a2-4a+2=8,解得a=-1或a=3(舍).(2)当a>2时,(|PA|2)min=a2-2a×a+2a2-2=a2-2.由题意知,a2-2=8,解得a=或a=-(舍),综上知,a=-1或. 20.(2022课标Ⅰ,16,5分)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为 . [答案]20.16[解析]20.由f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则有即解得a=8,b=15,∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=(1-x2)[(x+4)2-1],令x+2=t,则x=t-2,t∈R.∴y=f(t)=[1-(t-2)2][(t-2)2+8(t-2)+15]=(4t-t2-3)(4t+t2+3)=16t2-(t2+3)2=16t2-t4-6t2-9=16-(t2-5)2,∴当t2=5时ymax=16.21.（2022年广东省广州市高三4月综合测试，19,14分）已知，设命题：函数在区间上与轴有两个不同的交点；命题：14\n在区间上有最小值.若是真命题，求实数的取值范围.[答案]21.解：要使函数在上与轴有两个不同的交点，必须即解得.所以当时，函数在上与轴有两个不同的交点.下面求在上有最小值时的取值范围：方法1：因为①当时，在和上单调递减，在上无最小值；②当时，在上有最小值；③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上有最小值.所以当时，函数在上有最小值.方法2：因为因为，所以.所以函数是单调递减的.要使在上有最小值，必须使在上单调递增或为常数，即，即.所以当时，函数在上有最小值.若是真命题，则是真命题且是真命题，即是假命题且是真命题.14\n所以解得或.故实数的取值范围为.21.22.(2022年江西省重点中学盟校高三第二次联考，21，14分）设是的两个极值点，的导函数是.（1）如果，求证：；（2）如果，求的取值范围；（3）如果，且时，函数的最小值为，求的最大值.[答案]22.（1），，是方程的两根，由且得得，.由第（1）问知由，两式相除得.①当时，由，，.14\n令函数，则.在上是增函数，；②当.，同理可得.综①②得.，，是方程的两根，可设..，.又，..令，当且仅当时取等号.，当，.在上是减函数，.22.23.（2022四川，21,14分）已知函数f(x)=其中a是实数.设A(x1,f(x1)),14\nB(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2.(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值;(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.[答案]23.(Ⅰ)函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞).(3分)(Ⅱ)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f'(x1),点B处的切线斜率为f'(x2),故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f'(x1)f'(x2)=-1.当x<0时,对函数f(x)求导,得f'(x)=2x+2.因为x1<x2<0,所以(2x1+2)(2x2+2)=-1,所以2x1+2<0,2x2+2>0.因此x2-x1=[-(2x1+2)+2x2+2]≥=1,当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-且x2=-时等号成立.所以函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,x2-x1的最小值为1.(7分)(Ⅲ)当x1<x2<0或x2>x1>0时,f'(x1)≠f'(x2),故x1<0<x2.当x1<0时,函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-+a.当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y-lnx2=(x-x2),即y=·x+lnx2-1.两切线重合的充要条件是由①及x1<0<x2知,-1<x1<0.由①②得,a=+ln-1=-ln(2x1+2)-1.设h(x1)=-ln(2x1+2)-1(-1<x1<0),则h'(x1)=2x1-<0.所以h(x1)(-1<x1<0)是减函数.则h(x1)>h(0)=-ln2-1.所以a>-ln2-1.14\n又当x1∈(-1,0)且趋近于-1时,h(x1)无限增大,所以a的取值范围是(-ln2-1,+∞).故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln2-1,+∞).(14分)23.14
