【科学备考】（新课标）2022高考数学二轮复习第二章函数的概念与基本初等函数I函数的值域与最值理（含2022试题）理数1.(2022浙江,6,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( )A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9[答案]1.C[解析]1.由得解得则有f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6,由0<f(-1)≤3,得6<c≤9.2.(2022兰州高三第一次诊断考试,12)设的定义域为，若满足下面两个条件，则称为闭函数：①是上单调函数；②存在，使在上值域为.现已知为闭函数，则的取值范围是（ ）A． B． C． D． [答案]2. A[解析]2. 函数是定义在上的增函数，为常数，函数在上的增函数，因此函数为闭函数，则存在区间，使在上的值域为，可得函数的图象与直线相交于点和，，即方程在上有两个不等的实数根、，令，则，设函数，即（，在时，为减函数，则；在时，为增函数，则，当时，有两个不等的值使得成立，相应地有两个不等的实数根、满足，14\n故当为闭函数时，实数的取值范围是.3.(2022湖南长沙市高三三月模拟，8,5分)使得函数的值域为的实数对有( )对.A．1 B．2 C．3 D．无数[答案]3.B [解析]3.，要使的值域为，①若不处于一个单调区间上，由于，所以.令，得，解得.故.所以实数对满足题意；②若处于一个单调区间上，由于不是处于一个单调区间上，所以只有满足的实数对才满足要求.由得，即，此方程是四次方程，最多有4个实数解，（i）显然满足的实数解一定满足；（ii）由于故.故4个实数解都求出，没有其他解了.所以处于同一个单调区间上的实数对只有满足题意；综上，实数对有，共2对.4.（2022年广东省广州市高三4月综合测试，8，5分）记实数，，…，中的最大14\n数为，最小数为，则( )A. B.1 C.3 D.[答案]4.D [解析]4.作出的图象如下图黑色阴影部分的上边界：由图象易知当时，.故选D.5.（2022重庆，3,5分）(-6≤a≤3)的最大值为( )A.9 B. C.3 D.[答案]5.B[解析]5.易知函数y=(3-a)(a+6)的两个零点是3,-6,对称轴为a=-,y=(3-a)(a+6)的最大值为y==,则的最大值为,选B.6.(2022课标Ⅱ，12,5分)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )A.(0,1) B. C. D.[答案]6.B14\n[解析]6.(1)当直线y=ax+b与AB、BC相交时(如图1),由得yE=,又易知xD=-,∴|BD|=1+,由S△DBE=××=得b=∈. 图1(2)当直线y=ax+b与AC、BC相交时(如图2),由S△FCG=(xG-xF)·|CM|=得b=1-∈(∵0<a<1), 图2∵对于任意的a>0恒成立,∴b∈∩,即b∈.故选B.7.(2022重庆,12,5分)函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为________.[答案]7.-[解析]7.显然x>0,∴f(x)=log2·lo(2x)=log2x·log2(4x2)=log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=-≥-.当且仅当x=时,有f(x)min=-.8.(2022四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;14\n③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)[答案]8.①③④[解析]8.依题意可直接判定①正确;令f(x)=2x(x∈(-∞,1]),显然存在正数2,使得f(x)的值域(0,2]⊆[-2,2],但f(x)无最小值,②错误;假设f(x)+g(x)∈B,则存在正数M,使得当x在其公共定义域内取值时,有f(x)+g(x)≤M,则f(x)≤M-g(x),又∵g(x)∈B,则存在正数M1,使g(x)∈[-M1,M1],∴-g(x)≤M1,即M-g(x)≤M+M1,∴f(x)≤M+M1,与f(x)∈A矛盾,③正确;当a=0时,f(x)=∈,即f(x)∈B,当a≠0时,∵y=aln(x+2)的值域为(-∞,+∞),而∈,此时f(x)无最大值,故a=0,④正确.9.(2022河北唐山高三第一次模拟考试，13)函数，的值域为________________.[答案]9.[解析]9. ,，，.10. (2022吉林高中毕业班上学期期末复习检测,16)下列说法正确的有 (只填序号)①函数的图象与直线的交点个数为0或1;②设函数,若当时，总有，则；③时，函数的值域为；④与函数的图象关于点对称的图象对应的函数为.[答案]10. ①②④[解析]10. 函数与直线的交点个数为0个，（此时1不属于定义域）或1个（1属于定义域），故①正确；因为二次函数图象的对称轴为，开口向上，若当时，总有，则，解得，故②正确.由时，真数的判别式大于等于0，即真数可以为任意实数，此时函数的值域为，故③错误；根据对称变换法则，与函数关于点对称的函数14\n，故④正确.综上所述，正确的是①②④.11.(2022课标Ⅰ,16,5分)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为 . [答案]11.16[解析]11.由f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则有即解得a=8,b=15,∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=(1-x2)[(x+4)2-1],令x+2=t,则x=t-2,t∈R.∴y=f(t)=[1-(t-2)2][(t-2)2+8(t-2)+15]=(4t-t2-3)(4t+t2+3)=16t2-(t2+3)2=16t2-t4-6t2-9=16-(t2-5)2,∴当t2=5时ymax=16.12.（2022江西红色六校高三第二次联考理数试题，21）已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时,判断的单调性,并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.[答案]12.查看解析[解析]12.易知的定义域为，且为偶函数.（1）时, 时最小值为2. ----------------------------------3分（2）时,14\n时， 递增； 时，递减；--------------------5分为偶函数.所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时，递增；------------8分（3），，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有---10分①当时，在上单调递增，由得，从而； ②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而；③当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； ④当时，在上单调递减，14\n由得，从而；综上，.---------------------------------------14分13.(2022江苏苏北四市高三期末统考,17)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）. （Ⅰ）求关于的函数关系式； （Ⅱ）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？[答案]13.查看解析[解析]13. 解析（Ⅰ）设扇环的圆心角为q，则，所以，（4分） （Ⅱ）花坛的面积为.装饰总费用为，（9分）所以花坛的面积与装饰总费用的比，令，则，当且仅当t=18时取等号，此时.答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.（14分）(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)14.(2022江西七校高三上学期第一次联考,18)已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数的定义域，并求函数的值域.（用表示）[答案]14.查看解析14\n[解析]14. 解析 （Ⅰ）令，显然在上单调递减，故，故，即当时，，（在即时取得）（在即时取得）. （6分） （Ⅱ）由的定义域为，由题易得：，因为，故的开口向下，且对称轴，于是：当即时，的值域为（；当即时，的值域为（.（12分）15.(2022辽宁省五校协作体高三一月摸底考试，21,12分）若函数的定义域为，且，其中a、b为任意正实数，且a<b.（1）当A=时，研究的单调性（不必证明）；（2）写出的单调区间（不必证明），并求函数的最小值、最大值；（3）若其中k是正整数，对一切正整数k不等式都有解，求m的取值范围.[答案]15.（1）当A=时，， ∵，∴， ∴函数在区间上是减函数，在区间是增函数.（2）函数的单调递减区间是，单调递增区间是. ∴当时，函数取最小值 .14\n 又， ， ∴， ∴函数的最大值是.（3）由（2）得：当A=Ik时，的最小值为；当A=Ik+1时，的最小值为.∴对一切正整数k不等式都有解，设函数，，∴对恒成立，∴函数在上是减函数，∴的最小值是，∴，即m的取值范围是.15.16.（2022年广东省广州市高三4月综合测试，19,14分）已知，设命题：函数在区间上与轴有两个不同的交点；命题：在区间上有最小值.若是真命题，求实数的取值范围.[答案]16.解：要使函数在上与轴有两个不同的交点，14\n必须即解得.所以当时，函数在上与轴有两个不同的交点.下面求在上有最小值时的取值范围：方法1：因为①当时，在和上单调递减，在上无最小值；②当时，在上有最小值；③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上有最小值.所以当时，函数在上有最小值.方法2：因为因为，所以.所以函数是单调递减的.要使在上有最小值，必须使在上单调递增或为常数，即，即.所以当时，函数在上有最小值.若是真命题，则是真命题且是真命题，即是假命题且是真命题.所以解得或.14\n故实数的取值范围为.16.17.(2022年辽宁省五校协作体高三第二次模拟考试，19，12分)鑫隆房地产公司用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）[答案]17.设楼房每平方米的平均综合费为元，则.方法一：,令得当时， ；当时，,因此当时，取最小值.（方法二：，当且仅当时成立，即时，）.答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层.17.18.(2022年辽宁省五校协作体高三第二次模拟考试，21，12分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象（1）写出函数的增区间；（2）写出函数的解析式； 14\n（3）若函数，求函数的最小值.[答案]18.（1）在区间，上单调递增.（2）设，则.函数是定义在上的偶函数，且当时，（3），对称轴方程为：，当时，为最小；当时，为最小；当时，为最小.综上有：的最小值为18.19.（2022年四川成都市高新区高三4月月考，17,12分）一个口袋中有个白球和个红球且，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖.（Ⅰ）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；14\n（Ⅱ）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值.[答案]19.（Ⅰ）一次摸球从个球中任选两个，有种选法，其中两球颜色相同有种选法；一次摸球中奖的概率.（Ⅱ）若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是.（Ⅲ）设一次摸球中奖的概率是，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是，，在是增函数，在是减函数，当时，取最大值..，故时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大.19.14
