第9练 分段函数，剪不断理还乱题型一 分段函数的值域问题例1 函数f(x)＝的值域为________．破题切入点 求各段值域，然后求并集．答案 (－∞，2)解析 因为当x≥1时，f(x)＝log2＝－log2x≤0，当x<1时，0<f(x)＝2x<2，所以函数f(x)的值域为(－∞，2)．题型二 分段函数的零点问题例2 (2022·扬州模拟)已知函数f(x)＝则关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有5个不同实数解的充要条件是________．破题切入点 分类讨论思想，结合函数图象解决．答案 b<－2且c＝0解析 可以从c＝0，c≠0两种情形来考虑．若c＝0，则x＝0是方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0其中的一个根，且f(x)[f(x)＋b]＝0，此时f(x)≠0，所以f(x)＋b＝0，因此当－b>2时，f(x)＋b＝0有四个根，满足题意，所以b<－2.题型三 分段函数的综合性问题例3 已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．破题切入点 分段函数奇偶性的概念，结合图象分类讨论．解 (1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．当x>0时，－x<0，有(－x)2－mx＝－(－x2＋2x)，即x2－mx＝x2－2x.∴m＝2.(2)由(1)知f(x)＝当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减；当x∈(0,1]时，f(x)单调递增．当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∴当x∈(－∞，－1]时，f(x)单调递减；当x∈[－1,0)时，f(x)单调递增．综上知：函数f(x)在[－1,1]上单调递增．又函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增．∴解之得1<a≤3.故实数a的取值范围是(1,3]．总结提高 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应法则的不同而分别用几个不同的式子来表示的．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．-6-\n(2)在求分段函数f(x)解析式时，一定要首先判断x属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．1．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．答案 [0，＋∞)解析 当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.2．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是________．答案 (0,2]解析 由题意，得解得0<a≤2.3．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是______________________．答案 [－，0]∪(2，＋∞)解析 由x<g(x)得x<x2－2，∴x<－1或x>2；由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.∴f(x)＝即f(x)＝当x<－1时，f(x)>2；当x>2时，f(x)>8.∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x≤2时，－≤f(x)≤0.∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－，0]．综上可知，f(x)的值域为[－，0]∪(2，＋∞)．4．已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是________．-6-\n答案 ④解析 先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此①正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此②正确；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，③正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，相应这部分图象不是一条线段，因此④不正确．5．设函数f(x)＝若f(m)>f(－m)，则实数m的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 若m>0，则－m<0，f(m)＝＝－log2m，f(－m)＝log2m，由f(m)>f(－m)，得－log2m>log2m，即log2m<0,0<m<1；若m<0，则－m>0，f(－m)＝log(－m)＝－log2(－m)，f(m)＝log2(－m)，由f(m)>f(－m)得log2(－m)>－log2(－m)，解得m<－1.6．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是____________________．答案 (－∞，－2]∪(－1，－)解析 f(x)＝即f(x)＝f(x)的图象如图所示，由图象可知c的取值范围为(－∞，－2]∪(－1，－)．7．已知函数f(x)＝则f(－3)的值为________．答案 2解析 f(－3)＝f(－1)＋1＝f(1)＋2＝2.8．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．答案 －1<a<3解析 由分段函数可得f(f(1))＝f(3)＝6a＋9，故f(f(1))>3a2⇔6a＋9>3a2，解得－1<a<3.9．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．答案 (0,1)解析 画出分段函数f(x)的图象如图所示，-6-\n结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．10．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．答案 －10解析 因为f(x)的周期为2，所以f＝f＝f，即f＝f.又因为f＝－a＋1，f＝＝，所以－a＋1＝.整理，得a＝－(b＋1)．①又因为f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝，即b＝－2a.②将②代入①，得a＝2，b＝－4.所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.11．(2022·四川)已知函数f(x)＝其中a是实数，设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，证明：x2－x1≥1；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．(1)解 函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)证明 由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′(x1)，点B处的切线斜率为f′(x2)．故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′(x1)·f′(x2)＝－1，当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x＋2，因为x1<x2<0，所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋2<0,2x2＋2>0.因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1.(当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－时等号成立)所以，函数f(x)的图象在点A、B处的切线互相垂直时，有x2－x1≥1.(3)解 当x1<x2<0或x2>x1>0时，f′(x1)≠f′(x2)，-6-\n故x1<0<x2.当x1<0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x＋a.当x2>0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－lnx2＝(x－x2)，即y＝·x＋lnx2－1.两切线重合的充要条件是由①及x1<0<x2知，0<<2.由①②得，a＝lnx2＋2－1＝－ln＋2－1.令t＝，则0<t<2，且a＝t2－t－lnt.设h(t)＝t2－t－lnt(0<t<2)，则h′(t)＝t－1－＝<0，所以h(t)(0<t<2)为减函数，则h(t)>h(2)＝－ln2－1，所以a>－ln2－1.而当t∈(0,2)且t趋近于0时，h(t)无限增大，所以a的取值范围是(－ln2－1，＋∞)，故当函数f(x)的图象在点A、B处的切线重合时，a的取值范围为(－ln2－1，＋∞)．12．(2022·湖南)已知a>0，函数f(x)＝.(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；(2)是否存在a，使函数y＝f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)当0≤x≤a时，f(x)＝；当x>a时，f(x)＝.因此，当x∈(0，a)时，f′(x)＝<0，f(x)在(0，a)上单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＝>0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增．①若a≥4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)＝f(0)＝.②若0<a<4，则f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g(a)＝max{f(0)，f(4)}．而f(0)－f(4)＝－＝，-6-\n故当0<a≤1时，g(a)＝f(4)＝；当1<a<4时，g(a)＝f(0)＝.综上所述，g(a)＝(2)由(1)知，当a≥4时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0<a<4时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x1，x2∈(0,4)(x1<x2)，使曲线y＝f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点处的切线互相垂直．则x1∈(0，a)，x2∈(a,4)，且f′(x1)·f′(x2)＝－1.即·＝－1.亦即x1＋2a＝.(*)由x1∈(0，a)，x2∈(a,4)得x1＋2a∈(2a,3a)，∈.故(*)成立等价于集合A＝{x|2a<x<3a}与集合B＝的交集非空．因为<3a，所以当且仅当0<2a<1，即0<a<时，A∩B≠∅.综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是.-6-
