第10练 化解抽象函数快捷有效的几个途径题型一 与抽象函数有关的函数性质问题例1 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．破题切入点 周期函数的概念，同时考查单调性及充要条件．答案 充要解析 ①∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．∵f(x)为[0,1]上的增函数，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．又∵f(x)的周期为2，∴f(x)为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数．②∵f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．又∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)为[0,1]上的增函数．由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．题型二 与抽象函数有关的函数零点问题例2 设函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，则方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上的根的个数为________．破题切入点 将条件转化为我们所熟悉的知识．答案 805解析 f(7－x)＝f(7＋x)＝f(2＋(5＋x))＝f(2－(5＋x))＝f(－3－x)，即f(x＋10)＝f(x)，所以函数的周期为10，且对称轴为x＝2，x＝7，在[0,10]内，f(1)＝f(3)＝f(11)＝f(13)，所以一个周期内只有2个零点，在[0,2011]内2011＝201×10＋1有201×2＋1＝403个，在[－2011,0]内－2011＝201×(－10)－1，有201个周期且f(－1)≠0，此时有201×2＝402个零点，合计805.题型三 与抽象函数有关的新概念问题例3 设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质P，现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射为________．(写出所有具有性质P的映射的序号)破题切入点 准确把握性质P的含义．-6-\n答案 ①③解析 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)．对于①，∵f1(m)＝x－y，∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)·y2]＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)，而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，∴①具有性质P.对于②，f2(m)＝x2＋y，设a＝(0,0)，b＝(1,2)，λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3，而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)，又λ是任意实数，∴f(λa＋(1－λ)b)≠λf(a)＋(1－λ)f(b)，故②不具有性质P.对于③，f3(m)＝x＋y＋1，f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋(1－λ)y2]＋1＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋λ＋(1－λ)＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．∴③具有性质P.综上，具有性质P的映射的序号为①③.总结提高 (1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质．(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致出错，要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数，因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法．1．设f(x)为偶函数，对于任意的x>0，都有f(2＋x)＝－2f(2－x)，已知f(－1)＝4，那么f(－3)＝________.答案 －8解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝4，f(－3)＝f(3)，当x＝1时，f(2＋1)＝(－2)·f(2－1)，∴f(3)＝(－2)×4＝－8，∴f(－3)＝－8.2．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．答案 必要不充分解析 若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．此时|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，因此y＝|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y＝|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出y＝f(x)为奇函数，故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要不充分条件．3．若f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是增函数，又f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为________．-6-\n答案 (－2,0)∪(0,2)解析 因为f(x)为奇函数，且f(－2)＝0，所以f(2)＝0.作出f(x)大致图象，如图所示，由图象可知：当－2<x<0时，f(x)>0，所以xf(x)<0；当0<x<2时，f(x)<0，所以xf(x)<0.故不等式xf(x)<0的解集为(－2,0)∪(0,2)．4．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2014)＝________.答案 －解析 令x＝1，y＝0，由已知得f(0)＝，令x＝y＝1，则f(2)＝4f2(1)－f(0)＝4×()2－＝－.取x＝n，y＝1，有f(n)＝f(n＋1)＋f(n－1)，①同理f(n＋1)＝f(n＋2)＋f(n)，②联立①②，得f(n＋2)＝－f(n－1)，所以f(n＋3)＝－f(n)，f(n＋6)＝－f(n＋3)＝f(n)，所以函数f(x)的周期为6，f(2014)＝f(335×6＋4)＝f(4)＝4f2(2)－f(0)＝－.故填－.5．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)的定义域及值域均为[－a，a](常数a>0)，其图象如图所示，则方程f(g(x))＝0根的个数为________．答案 6解析 由f(x)的图象可知方程f(x)＝0有三个根，分别设为x1，x2，x3，因为f(g(x))＝0，所以g(x)＝x1，g(x)＝x2或g(x)＝x3，因为－a<x1<a，g(x)∈[－a，a]，所以由g(x)的图象可知y＝x1与y＝g(x)的图象有两个交点，即方程g(x)＝x1有两个根，同理g(x)＝x2，g(x)＝x3各有两个根，所以方程f(g(x))＝0有6个根．-6-\n6．如图，偶函数f(x)的图象如字母M，奇函数g(x)的图象如字母N，若方程f(f(x))＝0，f(g(x))＝0的实根个数分别为m，n，则m＋n＝________.答案 12解析 由图象可知偶函数f(x)的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(－2，－1)与(1,2)中，值域是[－1,1]；奇函数g(x)的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(－1,0)与(0,1)中，值域是[－2,2]．①只有当f(x)＝0时，f(f(x))＝0，故实根个数m＝3.②存在3个实数x，使g(x)＝0，f(g(x))＝0；存在3个实数x，使g(x)∈(－2，－1)，f(g(x))＝0；存在3个实数x，使g(x)∈(1,2)，f(g(x))＝0，故实根个数n＝9.从而m＋n＝12.7．若对于定义在R上的函数f(x)，存在常数t(t∈R)，使得f(x＋t)＋tf(x)＝0对任意实数x均成立，则称f(x)是t阶回旋函数，则下列命题正确的是________．(填序号)①f(x)＝2x是－阶回旋函数；②f(x)＝sin(πx)是1阶回旋函数；③f(x)＝x2是1阶回旋函数；④f(x)＝logax是0阶回旋函数．答案 ②解析 对于函数f(x)＝sinπx，由诱导公式可知当t＝1时满足f(x＋1)＋f(x)＝sinπ(x＋1)＋sinπx＝0，故f(x)＝sinπx是1阶回旋函数，②正确．8．设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f(x)的判断：①y＝f(x)是周期函数；②y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；③y＝f(x)在[0,1]上是增函数；④f()＝0.其中正确判断的序号是________．答案 ①②④解析 由f(x＋1)＝－f(x)可得f(x＋2)＝f(x)，①正确；因为y＝f(x)是定义在R上的偶函数，可知y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，②正确；显然③错误；由f(－＋1)＝－f(－)＝－f()＝f()得f()＝0，④正确．9．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；-6-\n④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案 ②③解析 当f(x)＝x2时，不妨设f(x1)＝f(x2)＝4，有x1＝2，x2＝－2，此时x1≠x2，故①不正确；由f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2可知，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，故②正确；若b∈B，b有两个原象时，不妨设为a1，a2，可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f(x)在某区间上具有单调性时整个定义域上不一定单调，因而f(x)不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.10．(2022·湖南)设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是____________．(写出所有正确结论的序号)①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.答案 (1){x|0<x≤1} (2)①②③解析 (1)∵c>a>0，c>b>0，a＝b且a，b，c不能构成三角形的三边，∴0<2a≤c，∴≥2.令f(x)＝0得2ax＝cx，即x＝2.∴x＝log2.∴＝log2≥1.∴0<x≤1.(2)①∵a，b，c是三角形的三条边长，∴a＋b>c.∵c>a>0，c>b>0，∴0<<1,0<<1.∴当x∈(－∞，1)时，f(x)＝ax＋bx－cx＝cx>cx＝cx·>0.∴∀x∈(－∞，1)，f(x)>0.故①正确．②令a＝2，b＝3，c＝4，则a，b，c可以构成三角形．但a2＝4，b2＝9，c2＝16却不能构成三角形，故②正确．③∵c>a，c>b，且△ABC为钝角三角形，∴a2＋b2－c2<0，又f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0，∴函数f(x)在(1,2)上存在零点，故③正确．11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；-6-\n(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.解 (1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x2)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1、x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1.∵当x>1时，f(x)<0.∴f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，有f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．(3)由f()＝f(x1)－f(x2)，得f()＝f(9)－f(3)．而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.∵函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，∴原不等式为f(|x|)<f(9)．∴|x|>9，∴x<－9或x>9，∴不等式的解集为{x|x<－9或x>9}．12．设集合Pn＝{1,2，…，n}，n∈N*，记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁PnA，则2x∉∁PnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)．解 (1)当n＝4时，符合条件的集合A为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f(4)＝4.(2)任取偶数x∈Pn，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k次以后，商必为奇数，此时记商为m，于是x＝m·2k，其中m为奇数，k∈N*.由条件知，若m∈A，则x∈A⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数．于是x是否属于A由m是否属于A确定．设Qn是Pn中所有奇数的集合，因此f(n)等于Qn的子集个数．当n为偶数(或奇数)时，Pn中奇数的个数是，所以f(n)＝-6-
