【高考领航】2022高考数学总复习10-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习苏教版【A组】一、填空题1．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，甲工厂必须有班级要去，去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有________种．解析：三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37(种)．答案：372．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．解析：分三类：甲在周一，共有A种排法；甲在周二，共有A种排法；甲在周三，共有A种排法；∴A＋A＋A＝20.答案：203．5名运动员争夺三个项目的冠军(不能并列)，所有可能的结果共有________种．解析：第n个项目的冠军可由5名运动员中的任一人取得，共5种方法(n＝1，2，3)，根据分步计数原理，所有可能的结果共有5×5×5＝53(种)．答案：534．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C×C×CC＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：125．某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花________元．解析：从01至10中选3个连续的号共有8种选法；5\n从11至20中选2个连接的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选一个号有6种选法，由分步计数原理共有8×9×10×6＝4320(注)，至少需花4320×2＝8640(元)．答案：86406．椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为________．解析：∵焦点在y轴上，∴0＜m＜n，依次考虑m取1，2，3，4，5时，相应符合条件的n值有6，5，4，3，2种，由分类计数原理知，这样的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20(个)．答案：207．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．解析：正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”，12条棱共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12上“正交线面对”，共有36个．答案：36二、解答题8．如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？解：依题意至少要用3种颜色．(1)当用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，故有A种．(2)当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有A种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有A种，故用四种颜色时共有2A种．由加法原理可知满足题意的着色方法共有A＋2A＝24＋2×24＝72(种)．9．用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位偶数．解：完成这件事有3类方法：第一类是用0做结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有5\n2，3，4，5可以选择有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48(个)；第二类是用2做结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36(个)；第三类是用4做结尾的比2000大的4位偶数，其步骤同第二类．对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比2000大的四位偶数有4×4×3＋3×4×3＋3×4×3＝120(个)．【B组】一、填空题1．(2022·南京模拟)由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有________个．答案：1742．(2022·临沂模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是________．答案：483．集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数为________．解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点．答案：144．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________．解析：完成这件事有三类方法．第一类：有两个对应位置上的数字相同，此时有6个信息；第二类：有一个对应位置上的数字相同，此时有4个信息；第三类：有零个对应位置上的数字相同，此时有1个信息．根据分类计数原理，至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6＋4＋1＝11.答案：115\n5．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．答案：486．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．答案：407．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7}，C＝{8，9}，现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出的一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可组成集合________个．解析：分三类：第一类：若取出的集合是A，B，则可组成4×3＝12个集合；第二类：若取出的集合是A，C，则可组成4×2＝8个集合；第三类：若取出的集合是B，C，则可组成3×2＝6个集合，故一共可组成12＋8＋6＝26个集合．答案：26二、解答题8．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解：由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18(种)；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2(种)；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．9．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0，1，2，3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？解：(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0必无原象，1，2，3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法，所以不同的f共有34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类：A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C·C5\n＝12(种)方法；第三类：A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C·C＝6(种)方法；第四类：A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C·C＝12(种)方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(个)．5
