第十一章计数原理\n-2-\n11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理\n-4-知识梳理双基自测211.两个计数原理n类不同的方案n个步骤\n-5-知识梳理双基自测212.两个计数原理的区别与联系\n2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中,只有各个步骤都完成后,这件事情才算完成.()(4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(5)如果完成一件事情有n个不同的步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,…,n),那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法.()×√√√√\n-7-知识梳理双基自测234152.在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有()A.45个B.36个C.30个D.50个答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测234153.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案解析解析关闭由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B.答案解析关闭B\n-9-知识梳理双基自测234154.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少1个,至多5个,则不同的分法共有()A.4种B.5种C.6种D.7种答案解析解析关闭用分类加法计数原理,分三类:①三堆中“最多”的一堆为5个,其他两堆总和为5,每堆至少1个,只有2种分法,即1和4,2和3.②三堆中“最多”的一堆为4个,其他两堆总和为6,每堆至少1个,只有2种分法,即2和4,3和3.③三堆中“最多”的一堆为3个,那是不可能的.所以不同的分法共有2+2=4(种).答案解析关闭A\n-10-知识梳理双基自测234155.有4部车床,需加工3个不同的零件,其不同的安排方法的种数为()答案解析解析关闭以“每个零件”分步,共3步.而每个零件能在4部车床中的任一台上加工,所以有4种方法,于是安排方法为4×4×4=43(种).答案解析关闭B\n-11-考点1考点2考点3A.6个B.8个C.12个D.16个(2)如图,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有()A.9种B.11种C.13种D.15种思考使用分类加法计数原理遵循的原则是什么?答案解析解析关闭(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,n=1.故满足条件的椭圆共有3+2+1=6(个).(2)按照焊接点脱落的个数进行分类.若脱落1个,则有(1),(4),共2种;若脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6种;若脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种;若脱落4个,有(1,2,3,4),共1种.由分类加法计数原理,知共有2+6+4+1=13(种)焊接点脱落的情况.答案解析关闭(1)A(2)C\n-12-考点1考点2考点3解题心得使用分类加法计数原理遵循的原则:分类的划分标准可能有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则,且完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.\n-13-考点1考点2考点3对点训练1(1)把甲、乙、丙三名志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两名前面,不同的安排方案共有()A.20种B.30种C.40种D.60种(2)如图,从A到O有种不同的走法(不重复过一点).A5\n-14-考点1考点2考点3(2)分三类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点,有A→B→O和A→C→O2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有A→B→C→O和A→C→B→O2种不同的走法,由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5种不同的走法.\n-15-考点1考点2考点3例2(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有多少种报名方法?(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有多少种可能的结果?思考应用分步乘法计数原理解决问题时如何分步?对分步有何要求?\n-16-考点1考点2考点3解：(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事,因为每人必报一项,四人都报完才算完成,于是应按人分步,且分为四步.又每人可在三项中选一项,选法为3种,所以共有3×3×3×3=34=81(种)报名方法.(2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事,因为每项冠军只能有一人获得,三项冠军都有得主,这件事才算完成,于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人,有4种可能情况,于是共有4×4×4=43=64(种)可能的结果.解题心得利用分步乘法计数原理解决问题时,要按事件发生的过程合理分步,并且分步必须满足两个条件:一是完成一件事的各个步骤是相互依存的,二是只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.\n-17-考点1考点2考点3对点训练2(1)6名选手依次演讲,其中选手甲不在第一个,也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有()A.240种B.360种C.480种D.720种(2)在运动会比赛中,8名男运动员参加100m决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有种.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-18-考点1考点2考点3例3(1)某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生平均分配给甲、乙两家公司,其中2名英语成绩优秀的学生不能分给同一个公司;另3名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有()A.36种B.38种C.108种D.114种(2)如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有()A.72种B.48种C.24种D.12种AA\n-19-考点1考点2考点3解析：(1)由题意可得,有2类分配方案,第1类方案:甲公司要2名电脑特长学生有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生有2种情况;再从剩下的3个人中选一人,有3种情况.故共有3×2×3=18种分配方案.第2类方案:甲公司要1名电脑特长学生有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生有2种情况;再从剩下的3个人中选2个人,有3种情况,故共3×2×3=18种分配方案.由分类计数原理,可得不同的分配方案共有18+18=36(种),故选A.\n-20-考点1考点2考点3(2)方法一:首先涂A有4种涂法,则涂B有3种涂法,C与A,B相邻,则C有2种涂法,D只与C相邻,则D有3种涂法,所以共有4×3×2×3=72(种)涂法.方法二:按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24(种)涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24(种),D只要不与C同色即可,故D有2种涂法,所以不同的涂法共有24+24×2=72(种).解题心得在综合应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步.分类后分别对每一类进行计数,在计算每一类时可能要分步,在分步时可能又用到分类加法计数原理.\n-21-考点1考点2考点3对点训练3(1)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36(2)如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有种不同的涂色方法.260D\n-22-考点1考点2考点3解析：(1)第一类,对于每一条棱,都可以与两个面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24个;第二类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).(2)区域A有5种涂色方法;区域B有4种涂色方法;区域C的涂色方法可分为两类:若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法.故共有5×4×4+5×4×3×3=260(种)涂色方法.\n-23-思想方法——分类讨论在计数原理中的应用对于计数问题,分类讨论的数学思想贯穿始终.正确的分类一般是解决问题的切入点,考虑这个问题有几种情况,即分类;考虑每种情况有几个步骤,即分步.同时注意分类的全面与到位,不要出现重复或遗漏的现象.\n-24-典例如图,某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种,且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有种.(用数字作答)答案:120解析:将此类问题看成涂色问题,涂不同颜色代表栽种不同颜色的花.区域2,5不相邻,取区域2,5为讨论对象.(1)若区域2,5同色,则区域3,5一定不同色.先涂区域5有4种方法,涂区域2有1种方法,涂区域1有3种方法,涂区域6有2种方法,涂区域3有2种方法,涂区域4有1种方法,即有4×1×3×2×2×1=48(种)方法.\n-25-(2)若区域2,5不同色.①区域3,5同色:先涂区域5有4种方法,涂区域2有3种方法,涂区域1有2种方法,涂区域6有1种方法,涂区域3有1种方法,涂区域4有2种方法,即有4×3×2×1×1×2=48(种)方法;②区域3,5不同色:先涂区域5有4种方法,涂区域2有3种方法,涂区域1有2种方法,涂区域6有1种方法,涂区域3有1种方法,涂区域4有1种方法,即有4×3×2×1×1×1=24(种)方法.综上,共有48+48+24=120(种)方法.
