（福建专用）2013年高考数学总复习第九章第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时闯关（含解析）一、选择题1．某城市的电话号码，由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是( )A．9×8×7×6×5×4×3B．8×96C．9×106D．81×105解析：选D.电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时为9×106.∴可增加的电话部数是9×106－9×105＝81×105.2．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A．324B．328C．360D．648解析：选B.当0排在末位时，有9×8＝72(个)，当0不排在末位时，有4×8×8＝256(个)，由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328(个)．3．(2012·宁德质检)集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A．9B．14C．15D．21解析：选B.当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点，故选B.4．设直线方程为Ax＋By＝0，从1、2、3、4、5中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数为( )A．20B．19C．18D．16解析：选C.确定直线只需依次确定A、B的值即可，先确定A有5种取法，再确定B有4种取法，由分步乘法计数原理得5×4＝20，但x＋2y＝0与2x＋4y＝0,2x＋y＝0与4x＋2y＝0表示相同的直线，应减去，所以不同直线的条数为20－2＝18.5．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A．6个B．9个C．18个D．36个解析：选C.由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．二、填空题6．(2012·常德调研)现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100m接力赛跑．第一棒只能从甲、乙两人中安排1人，第四棒只能从甲、丙两人中安排1人，则不同的安排方案共有________种．解析：若甲跑第一棒，则丙跑第四棒，此时不同的安排方法有4×3＝12(种)，若乙跑第一棒，则不同的安排方法有2×4×3＝24(种)，故不同的安排方法共有24＋12＝36(种)．答案：367．集合A含有5个元素，集合B含有3个元素．从A到B可有________个不同映射．解析：A中的任一元素去选择B中的某一元素都有3种方法，且要完成一个映射应该使A中的每一个元素在B中都能找到唯一的元素与之对应，由乘法原理知共有3×3×3×3×3＝354\n＝243(个)．答案：2438．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有________个．(用数字作答)解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理，知共有二次函数3×3×2＝18(个)．若二次函数为偶函数，则b＝0.同上共有3×2＝6(个)．答案：18 6三、解答题9．一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．(1)从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？解：(1)任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法．用分类加法计数原理，共有5＋4＝9(种)．(2)各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成．由分步乘法计数原理，共有5×4＝20(种)．(3)第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，…，第九封信还有4种可能．由分步乘法计数原理可知，共有49＝262144种不同的投法．10．设x，y∈N*，直角坐标平面中的点为P(x，y)．(1)若x＋y≤6，这样的P点有多少个？(2)若1≤x≤4,1≤y≤5，这样的P点又有多少个？解：(1)当x＝1、2、3、4、5时，y值依次有5、4、3、2、1个，不同P点共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．(2)x有1、2、3、4这4个不同值，而y有1、2、3、4、5这5个不同值，共有不同P点4×5＝20(个)．一、选择题1．(2012·漳州调研)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数个数为( )A．240B．204C．729D．920解析：选A.分8类，当中间数为2时，有1×2＝2(种)；当中间数为3时，有2×3＝6(种)；当中间数为4时，有3×4＝12(种)；当中间数为5时，有4×5＝20(种)；当中间数为6时，有5×6＝30(种)；当中间数为7时，有6×7＝42(种)；当中间数为8时，有7×8＝56(种)；当中间数为9时，有8×9＝72(种)．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(种)．2．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A．32个B．34个C．36个D．38个解析：选A.先把数字分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以这5个数必须各来自上面5组中的一个元素，故共可组成2×2×2×2×2＝25＝32个这样的子集．故应选A.二、填空题3．从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中任取三条的不同取法共有n4\n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于________．解析：从5条线段中任取三条共有C＝10种不同的取法，其中(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)不能构成三角形，而(3,4,5)可以构成直角三角形，只有(2,3,4)，(2,4,5)可以构成钝角三角形．∴＝.答案：4．(2011·高考湖北卷)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种．(结果用数值表示)解析：根据着色方案可知，n＝6时，若有3个黑色正方形则有3种，有2个黑色正方形有4＋3＋2＋1＋1＝11(种)，有1个黑色正方形有6种；有0个黑色正方形有1种，所以共有3＋11＋6＋1＝21(种)．n＝6时，当至少有2个黑色正方形相邻时，法一：画出图形可分为：①有2个黑色正方形相邻时，共23种，②有3个黑色正方形相邻时，共12种，③有4个黑色正方形相邻时，共5种，④有5个黑色正方形相邻时，共2种，⑤有6个黑色正方形相邻时，共1种．故共有23＋12＋5＋2＋1＝43(种)．法二：所求事件的对立事件为“黑色正方形互不相邻”，由上面的解答可知“黑色正方形互不相邻”的着色方案有21种，而用黑、白两色给6个正方形着色的方案共有26种，故所求事件的种数为26－21＝43(种)．答案：21 43三、解答题5．从{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，问能组成多少条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？解：抛物线经过原点，得c＝0，当顶点在第一象限时，a<0，－>0，即则有3×4＝12(条)；当顶点在第三象限时，a>0，－<0，即则有4×3＝12(条)．共计有12＋12＝24(条)．6．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色．4\n(1)若n＝6，则为甲图着色的不同方法共有多少种；(2)若为乙图着色时共有120种不同的方法，求n的值．解：(1)由分步乘法计数原理，对区域①②③④按顺序着色，共有6×5×4×4＝480种方法．(2)与第(1)问的区别在于与④相邻的区域由2块变成了3块．同样利用分步乘法计数原理，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.所以(n2－3n)(n2－3n＋2)＝120，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0，所以n2－3n－10＝0，n2－3n＋12＝0(舍去)，解得n＝5，n＝－2(舍去)．4
