课时作业(六十一)分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．(2015·北京西城一模)如图，设P为正四面体A－BCD表面(含棱)上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有( )A．4个B．6个C．10个D．14个答案：C解析：分以下两种情况讨论：①点P到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离也分别相等，且这两个距离不等，此时点P位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；②点P到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不等，此时点P位于正四面体各侧面的中心，符合条件的有4个点．因此符合条件的点P共10个．2．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A．33B．34C．35D．36答案：A解析：从集合A，B，C中各取一个数有1×2×3＝6种取法，其中1,1,5三数可确定空间不同点的个数为3个，另5种每种可确定空间不同点的个数都是6.所以可确定空间不同点的个数为3＋5×6＝33.3．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形的个数为( )A．8B．32C．40D．48答案：C5\n解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类：有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；第二类：有两条公共边的三角形共有8个．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．4．如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有( )A．9种B．11种C．13种D．15种答案：C解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类，脱落1个，有1,4，共2种；第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况．5．(2015·山师附中模拟)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花( )A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元答案：D解析：从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选一个号有6种选法，由分步计数原理共有8×9×10×6＝4320(注)，至少需花4320×2＝8640(元)．6．某化工厂生产中需要依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲先投放，则不同的投放方案有( )A．10种B．12种C．15种D．16种答案：C解析：5\n分类完成此事，一类是使用甲原料，则不同的投放方案有1×3＝3(种)；一类是不使用甲原料，不同的投放方案有4×3＝12(种)．由分类加法计数原理可知，不同的投放方案有3＋12＝15(种)．7．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )A．64B．72C．84D．96答案：C解析：将四种颜色编号为①②③④，A有4种涂法，设涂①，B有3种涂法，设涂②，下面分3类：若C涂①，则D可涂②③④，共3种方法；若C涂③，则D可涂②④，共2种方法；若C涂④，则D可涂②③，共2种方法；于是不同的涂法为4×3×(3＋2＋2)＝84(种)．8．(2015·海淀模拟)书架上原来并排着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有( )A．336种B．120种C．24种D．18种答案：A解析：我们可以一本一本的插入，先插入一本可以在原来5本书形成的6个空档中插入，共有6种插法；同理插入第二本共有7种插入方法，插入第三本共有8种插入方法，所以共有6×7×8＝336(种)不同的插法．9．已知如图所示的每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有( )A．30种B．10种C．16种D．24种答案：C解析：5\n5个开关闭合有1种接通方式；4个开关闭合有5种接通方式；3个开关闭合有8种接通方式；2个开关闭合有2种接通方式，故共有1＋5＋8＋2＝16(种)．10．(2015·南充模拟)一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有( )A．6种B．8种C．12种D．48种答案：D解析：从P点处进入结点O以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完A景点，再进入另外两个景点，最后从Q点处出有(4＋4)×2＝16(种)不同的方法，同理，若先游览B景点，有16种不同的方法，若先游览C景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有3×16＝48(种)．二、填空题11．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a(a，b)，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为m，其中面积为2的平行四边形的个数n，则＝________.答案：解析：由已知可得，向量a的所有可能取值为(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)以其中任意两个向量为邻边作成的平行四边形的个数为m＝C＝15，其中面积为2的平行四边形是由向量(2,3)，(4,5)，(2,1)，(4,3)及(2,1)，(4,1)为邻边作成的共3个，即n＝3，故＝＝.12．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中选出五个数组成子集，使得这五个数中的任何两个数的和都不为11，这样的子集共有________个．答案：32解析：和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8,4与7,5与6，子集中的元素不能取自同一组的两个数，即这5个数只能从这5组中每组取1个，共有25＝32(个)．13．若m，n∈{x|x＝a2×102＋a1×10＋a0}，其中ai(i＝0,1,2)∈{1,2,3,4,5,6}，并且m＋n＝606，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为________．5\n答案：60解析：∵m＋n＝606，∴其个位数字为6，∴a0可有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)共5种组成方法；十位数字为0，可有(4,6)，(6,4)，(5,5)共有3种组成方法；百位数字为6，可知十位进上来1，余下5，可有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，共4种组成方法；由分步乘法计数原理，实数对(m，n)的个数为5×3×4＝60.14．(2015·宁夏模拟)有这样一种数字游戏：在3×3的表格中，要求每个格子中都填上1,2,3三个数字中的某一个数字，并且每一行和每一列都不能出现重复的数字．若游戏开始时表格的第一行第一列已经填上了数字1(如图①)，则此游戏有________种不同的填法；若游戏开始时表格是空白的(如图②)，则此游戏共有________种不同的填法．答案：4 12解析：对于图①，第1行有2种填法，其余空格有2种填法，故共有4种填法．对于图②，第1行有6种填法，其余空格有2种填法，故共有6×2＝12(种)填法．15．(2013·福建)满足a，b∈{－1,0,1,2}，则关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．答案：13解析：当a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2都有解；当a≠0时，需满足Δ＝22－4ab≥0，即ab≤1.当a＝－1时，b可取－1,0,1,2；当a＝1时，b可取－1,0,1；当a＝2时，b可取－1,0.故满足条件的有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.5
