【高考领航】2022高考数学总复习6-6直接证明与间接证明练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·扬州模拟)已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，∴cn随n的增大而减小．∴cn＋1<cn.答案：cn＋1<cn2．在平面直角坐标系xOy上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n∈N*，连结原点O与点Pn(n，n－4)，用g(n)表示线段OPn上除端点外的整点个数，则g(2008)＝________.解析：当n＝2008时，Pn(2008,2004)，此时，线段OPn的方程为y＝x，即为y＝x；显然，当x＝502，2×502,3×502时，得到的点都是整点．答案：33．设0＜x＜1，a＞0，b＞0，a，b为常数，＋的最小值是________．解析：解法一：设x＝cos2α，则1－x＝sin2α，∴＋＝＋＝a2(1＋tan2α)＋b2(1＋cot2α)＝a2＋b2＋a2tan2α＋b2cot2α≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.解法二：(x＋1－x)＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.6\n答案：(a＋b)24．(2022·苏州模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)解析：若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③5．已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则＋＋＋＝________.解析：由f(p＋q)＝f(p)f(q)，令p＝q＝n，得f2(n)＝f(2n)．原式＝＋＋＋＝2f(1)＋＋＋.＝8f(1)＝24.答案：246．对于任意实数a，b定义运算a*b＝(a＋1)(b＋1)－1，给出以下结论：①对于任意实数a，b，c，有a*(b＋c)＝(a*b)＋(a*c)；②对于任意实数a，b，c，有a*(b*c)＝(a*b)*c；③对于任意实数a，有a*0＝a，则以上结论正确的是______．(写出你认为正确的结论的所有序号)解析：按新定义，可以验证a*(b＋c)≠(a*b)＋(a*c)；所以①不成立；而a*(b*c)＝(a*b)*c成立，a*0＝(a＋1)(0＋1)－1＝a.所以正确的结论是②③.答案：②③6\n7．已知函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对任意的x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|＜，若用反证法证明该题，则反设应为________．解析：根据已知和反证法的要求，反设应为：存在x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，虽然|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，但|f(x1)－f(x2)|≥.答案：存在x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，虽然|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，但|f(x1)－f(x2)|≥二、解答题8．已知在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求当正整数m为何值时，Tn＞对于任意n∈N*恒成立．解：由an＋2－2an＋1＋an＝0，可得an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}是一个等差数列，其首项a1＝8，公差d＝＝－2，所以an＝8－2(n－1)＝10－2n，所以bn＝＝＝(－)，所以Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝，因为＝，n∈N*，所以当n＝1时，Tn取得最小值，欲使＞，6\n对于任意n∈N*恒成立，只需＜，解得m＜3，又m∈N*，所以m＝1,2.9．已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．解：f(a)＋f(c)>2f(b)．证明如下：因为a，b，c是不相等的正数，所以a＋c>2.因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b.即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4，从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.因为f(x)＝log2x是增函数，所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2，即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．故f(a)＋f(c)>2f(b)．【B组】一、填空题1．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为________．解析：∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案：a＞b2．设a，b，c，d，m，n都是正数，P＝＋，Q＝·，则P________Q．(填“≥”或“≤”)解析：∵＋≥2，∴＋＋ab＋cd≥2＋ab＋cd，即Q2≥P2.∵P＞0，Q＞0，∴Q≥P.答案：≤3．用反证法证明：若a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋≥4的反设为________．答案：＋＜46\n4．设Sn＝＋＋＋…＋(n∈N*)，且Sn＋1·Sn＋2＝，则n的值是________．解析：由＝－得到Sn＝＋＋＋…＋＝，Sn＋1·Sn＋2＝·＝＝，解得n＝5.答案：55．设函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b＜c，f(a)＞f(c)＞f(b)，则ac与1的大小关系为________．解析：由题意画图象可得0＜a＜1＜c.于是由|lga|＞|lgc|，得－lga＞lgc，即lgac＜0，所以0＜ac＜1.答案：ac＜16．若不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，则n的最小值是________．解析：由已知可转化为＞，整理得2n＞128，解得n＞7，又因为n∈N*，故n的最小值为8.答案：87．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.解析：通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函数．答案：－g(x)二、解答题8．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝，试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解：A、B、C成等差数列．证明如下：∵＋＝，∴＋＝3.∴＋＝1，6\n∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝＝，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝120°.∴A、B、C成等差数列．9．(2022·高考陕西卷)设函数f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：f(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最小值和最大值；解：(1)当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋x－1.∵ff(1)＝×1＜0，∴f(x)在内存在零点．又当x∈时，f′(x)＝nxn－1＋1＞0，∴f(x)在上是单调递增的，∴f(x)在内存在唯一零点．(2)由题意知即由图象知，b＋3c在点(0，－2)取到最小值－6，在点(0,0)取到最大值0，∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.6
