活页作业 直接证明与间接证明一、选择题1．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是( )A．f(2.5)＜f(1)＜f(3.5) B．f(2.5)＞f(1)＞f(3.5)C．f(3.5)＞f(2.5)＞f(1) D．f(1)＞f(3.5)＞f(2.5)解析：因为函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，所以x＝2是对称轴，在(2,4)上为减函数，由图象知f(2.5)＞f(1)＞f(3.5)．答案：B2．(2022·茂名模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<03．设a，b∈R，已知p：a＝b；q：2≤，则p是q成立的( )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件解析：p：a＝b是q：2≤等号成立的充分条件．答案：B4．(理)若不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，则n的最小值是( )A．7 B．8 C．9 D．104\n解析：由已知可转化为>，整理得2n>128，解得n>7，又因为n∈N*，故n的最小值为8.答案：B4．(文)在等比数列{an}中，若a3，a7是方程3x2－11x＋9＝0的两根，则a5的值为( )A．3 B．±3 C． D．±6．(理)若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )A．a＋>b＋ B．>C．a＋>b＋ D．>解析：∵a>b>0，∴<，∴a＋>b＋.答案：A6．(文)若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2 D．<解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．答案：B4\n二、填空题7．(理)已知x1＞0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n，都满足xn＞xn＋1，”当此题用反证法证明时所做的假设应为______________．答案：存在正整数n，使xn≤xn＋17．(文)用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，所做的假设是________．答案：≤8．如果a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是______．解析：a＋b>a＋b⇔(－)2(＋)>0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝a，则a，b的大小关系为________．三、解答题10．(2022·天水模拟)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)由于x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.4\n于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，又由于1＜a≤b≤c，所以x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)知所要证明的不等式成立．4
