【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学7.4直接证明与间接证明练习一、选择题1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有( )A．2个 B．3个C．4个D．5个答案：D2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”的过程应用了( )A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法答案：B3．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是( )A．ac2＜bc2B．a2＞ab＞b2C.＜D.＞答案：B4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是( )A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定答案：C5．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若＞，则a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，则＞D．若a2＞b2且ab＞0，则＜答案：C6．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是( )A．f(2.5)＜f(1)＜f(3.5)B．f(2.5)＞f(1)＞f(3.5)C．f(3.5)＞f(2.5)＞f(1)D．f(1)＞f(3.5)＞f(2.5)答案：B二、填空题7．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是__________．解析：假设P＜Q，∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证：2a＋7＋2＜2a＋7＋2，只要证：a2＋7a＜a2＋7a＋12，只要证：0＜12，∵0＜12成立，∴P＜Q成立．答案：P＜Q2\n8．如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是__________．答案：a≥0，b≥0且a≠b9．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足__________．答案：a2＞b2＋c2三、解答题10．已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a.证明：∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，∴a＞0且c＜0，∴b2－ac＞0.要证＜a，只需证b2－ac＜3a2，∵a＋b＋c＝0，∴只需证b2＋a(a＋b)＜3a2，即证2a2－ab－b2＞0，即证(a－b)(2a＋b)＞0，即证(a－b)(a－c)＞0.因为a＞b＞c，所以a－b＞0，a－c＞0，所以(a－b)(a－c)＞0，显然成立，故原不等式成立．11．在锐角三角形中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.证明：∵在锐角三角形中，A＋B＞，∴A＞－B.∴0＜－B＜A＜.又∵在内正弦函数是单调递增函数，∴sinA＞sin＝cosB.即sinA＞cosB，同理sinB＞cosC，sinC＞cosA.∴sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.12．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．解析：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理＋＋≥＋＋，②故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③所以原不等式成立当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．2
