第2讲 填空题的解法技巧题型概述 填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”．方法一 直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．例1 (1)(2022·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．(2)(2022·北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.解析 (1)由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139,151]上的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．(2)由余弦定理：cosA＝＝＝，∴sinA＝，cosC＝＝＝，∴sinC＝，∴＝＝1.答案 (1)4 (2)114\n思维升华 利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．跟踪演练1 (1)(2022·韶关联考)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．(2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根tanα，tanβ，且α，β∈(－，)，则α＋β＝________.方法二 特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例2 (1)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝_____________________________________.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析 (1)把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC＝6，则·＝18.(2)此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化．根据函数特点取f(x)＝sinx，再由图象可得(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝(－6×2)＋(2×2)＝－8.答案 (1)18 (2)－8思维升华 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．14\n跟踪演练2 (2022·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.方法三 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．例3 (1)已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2＋y2－6x＋9的取值范围是________________________________________________________________________．(2)已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(－x)≤f(1)的解集为________．解析 (1)画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，∴d＝()2＝()2＝2.最大值为点Q到点A的距离的平方，∴d＝16.∴取值范围是[2,16]．(2)函数y＝f(x)的图象如图，由不等式f(－x)≤f(1)知，－x≤＋1，从而得到不等式f(－x)≤f(1)的解集为[－1，＋∞)．答案 (1)[2,16] (2)[－1，＋∞)思维升华 数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数．数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系．跟踪演练3 (1)(2022·山西大学附中月考)若方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是_________________________________________________________．(2)(2022·兰州一中期中)设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数y＝g(x)＝f(x)－x的零点个数为________．方法四 构造法14\n构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．例4 (1)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．(2)，，(其中e为自然对数的底数)的大小关系是________________．解析 (1)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝π.(2)由于＝，＝，＝，故可构造函数f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.而f′(x)＝()′＝＝，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即<<.答案 (1)π (2)<<思维升华 构造法解题的关键是由条件和结论的特征构造数学模型．在立体几何中，补形构造是常用的解题技巧，构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用．跟踪演练4 已知三个互不重合的平面α、β、γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β.能推得m∥n的条件是________．方法五 归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例5 (1)(2022·陕西)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱56914\n五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_____________________________．(2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．解析 (1)观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.(2)观察题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8，公差为6的等差数列，所以，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.答案 (1)F＋V－E＝2 (2)6n＋2思维升华 归纳推理法主要用于与自然数有关的结论，这类问题是近几年高考的热点，解题的关键在于找准归纳对象及其规律，如数列中项与项数之间的对应关系．跟踪演练5 观察下列各个等式：13＝1；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19；…若某数m3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2016”这个数，则m＝________.方法六 正反互推法多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．例6 已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：①f(2013)＋f(－2014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________．解析 根据题意，可在同一坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如下：14\n根据图象可知①f(2013)＋f(－2014)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1,1)，正确．答案 ①③④思维升华 正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能．两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断．利用正反互推结合可以快速解决这类问题．跟踪演练6 给出以下命题：①双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x；②命题p：“∀x∈R＋，sinx＋≥2”是真命题；③已知线性回归方程为＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝0.2，则P(－1<ξ<0)＝0.6；⑤已知＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为＋＝2(n≠4)．则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．知识方法总结 六招拿下填空题：(一)直接法 (二)特例法 (三)数形结合法 (四)构造法(五)归纳推理法 (六)正反互推法填空题突破练A组 专题通关1．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，则x＝________，y＝________.2．已知函数f(x)＝若关于x的函数g(x)＝f(x)－m有两个零点，则实数m14\n的取值范围是________．3．已知函数f(x)＝sin(x＋)(x>0)的图象与x轴的交点从左到右依次为(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，…，则数列{xn}的前4项和为________．4．(2022·杭州外国语学校期中)设a＞0，在二项式(a－)10的展开式中，含x的项的系数与含x4的项的系数相等，则a的值为________．5．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．6．已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，则a，b，c的大小关系为________．7．观察下列不等式：1＋＜1＋＋＜1＋＋＋＜……照此规律，第五个不等式为_____________________________________________．8．若函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集是________．9．(2022·珠海模拟)已知函数f(x)＝()x－sinx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________．10．整数数列{an}满足an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，若此数列的前800项的和是2013，前813项的和是2000，则其前2014项的和为________．11．设命题p：≤0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．12．(2022·山东)执行下边的程序框图，输出的T的值为________.14\nB组 能力提高13．已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f()＝________.14．已知O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的最大值是________．15．设函数f(x)＝则f[f(－1)]＝________.若函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是________．16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)14\n学生用书答案精析第2讲 填空题的解法技巧跟踪演练1 (1)8 (2)－π或解析 (1)由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF1|·|PF2|≤()2＝8，(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)∴|PF1|·|PF2|的最大值是8.(2)由已知可得tanα＋tanβ＝－3a，tanαtanβ＝3a＋1，tan(α＋β)＝＝＝1，因为α，β∈(－，)，所以－π<α＋β<π，所以α＋β＝－π或.跟踪演练2 1解析 ∵f(1)＝f(－1)，∴ln(1＋)＋ln(－1＋)＝0，∴lna＝0，∴a＝1.经验证a＝1符合题意．跟踪演练3 (1)(－2,2) (2)3解析 (1)设f(x)＝x3－3x，令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，当x<－1时，函数f(x)单调递增，当－1<x<1时，函数f(x)单调递减，当x>1时，函数f(x)单调递增，f(－1)＝2，f(1)＝－2，要有三个不等实根，则直线y＝k与y＝f(x)的图象有三个交点，∴－2<k<2.14\n(2)由f(－4)＝f(0)，得16－4b＋c＝c.由f(－2)＝－2，得4－2b＋c＝－2.联立两方程解得b＝4，c＝2.于是，f(x)＝在同一直角坐标系内，作出函数y＝f(x)与函数y＝x的图象，知它们有3个交点，即函数g(x)有3个零点．跟踪演练4 ①③解析 构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD.因为m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为n⊂γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′.则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行．对于①：α、β取②中平面，取平面γ为平面BCC′B′，可取直线n为直线BC，故可推得m∥n；对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB′C′D，取直线n为直线B′C′，故可推得结论．跟踪演练5 45解析 某数m3按上述规律展开后，等式右边为m个连续奇数的和，由于前4行的最后一个数分别为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，所以m3的最后一个数为m2＋(m－1)，因为当m＝44时，m2＋(m－1)＝1979，当m＝45时，m2＋(m－1)＝2069，所以要使等式右边含有“2016”这个数，则m＝45.跟踪演练6 ①③⑤解析 ①由－x2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y＝±x，正确．②命题不能保证sinx，为正，故错误；14\n③根据线性回归方程的含义正确；④P(ξ>1)＝0.2，可得P(ξ<－1)＝0.2，所以P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)＝0.3，故错误；⑤根据验证可知得到一般性的等式是正确的．填空题突破练1．－1 －1解析 由A＝B知需分多种情况进行讨论，由lg(xy)有意义，则xy>0.又0∈B＝A，则必有lg(xy)＝0，即xy＝1.此时，A＝B，即{0,1，x}＝{0，|x|，y}．∴或解得x＝y＝1或x＝y＝－1.当x＝y＝1时，A＝B＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去；当x＝y＝－1时，A＝B＝{0，－1,1}满足题意，故x＝y＝－1.2．(1,2]解析 g(x)＝f(x)－m有两个零点等价于函数f(x)与函数y＝m的图象有两个交点，作出函数的图象如图，由图可知m的取值范围是(1,2]．3．26解析 令f(x)＝sin(x＋)＝0，则x＋＝kπ(k∈N*)，∴x＝3k－1(k∈N*)，∴x1＋x2＋x3＋x4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26.4．1解析 Tk＋1＝C(－)ka10－k，14\n令k＝2时，x的系数为Ca8，令k＝8时，x4的系数为Ca2，∴Ca8＝Ca2，即a＝1，故答案为1.5.－1解析 点P到抛物线的准线距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1，这个值即为所求．6．a＞b＞c解析 令f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝－1＝.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数．∵1＞＞＞＞0，∴a＞b＞c.7．1＋＋＋＋＋<8．{x|x>0}解析 构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex－1，求导得到g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．由已知f(x)＋f′(x)>1，可得g′(x)>0，所以g(x)为R上的增函数．又g(0)＝e0·f(0)－e0－1＝0，所以ex·f(x)>ex＋1，即g(x)>0的解集为{x|x>0}．9．2解析 因为函数f(x)＝()x－sinx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数等于函数y＝()x与函数y＝sinx在区间[0,2π]内的交点的个数，在同一坐标系中画出上述两个函数的图象如图所示，由图象可知，两函数在区间[0,2π]内有两个不同的交点，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为2.10．987解析 a3＝a2－a1，a4＝a3－a2，a5＝a4－a3，a6＝a5－a4，a7＝a6－a5，…，∴a1＝a7，a2＝a8，14\na3＝a9，a4＝a10，a5＝a11，…，{an}是以6为周期的数列，且有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，S800＝a1＋a2＝2013，S813＝a1＋a2＋a3＝2000，a3＝－13，∴∴a2＝1000，S2014＝a1＋a2＋a3＋a4＝a2＋a3＝1000＋(－13)＝987.11．[0，)解析 由≤0，得≤x<1；由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，得a<x<a＋1.因为p是q的充分不必要条件，所以解得0≤a<.12.解析 当n＝1时，T＝1＋x1dx＝1＋＝1＋＝；当n＝2时，T＝＋x2dx＝＋＝＋＝；当n＝3时，结束循环，输出T＝.13．0解析 由题意知f(－)＝f()．令x＝－可得－f()＝f(－)，∴f()＝－f(－)，故f()＝0，又令x＝可得f()＝f()，∴f()＝0，同理可得f()＝0.14．3解析 ·＝2x＋y，如图：当直线2x＋y＝z经过点(1,1)时，达到最大值，zmax＝3.15．－2 (0,1]解析 f[f(－1)]＝f(4－1)＝f()＝log2＝－2.14\n令f(x)－k＝0，即f(x)＝k，设y＝f(x)，y＝k，画出图象，如图所示，函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点，由图象可得实数k的取值范围为(0,1]．16．①②④解析 用正方体ABCD－A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点，故①②④正确．14
