第9练 顾全局——函数零点问题[题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.常考题型精析题型一 零点个数与零点区间问题例1 (1)(2022·湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )A.{1,3}B.{－3，－1,1,3}C.{2－，1,3}D.{－2－，1,3}(2)(2022·北京)设函数f(x)＝①若a＝1，则f(x)的最小值为________；②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.点评 确定函数零点的常用方法：(1)若方程易求解时，用解方程判定法；(2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.变式训练1 (2022·东营模拟)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是( )A.1B.2C.3D.4题型二 由函数零点求参数范围问题例2 (2022·天津)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________.点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.10\n(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.变式训练2 (2022·北京东城区模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x).当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______.高考题型精练1.已知x1，x2是函数f(x)＝e-x－|lnx|的两个零点，则( )A.<x1x2<1B.1<x1x2<eC.1<x1x2<10D.e<x1x2<102.(2022·天津)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( )A.B.C.D.3.(2022·福州模拟)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )A.，0B.－2,0C.D.04.函数f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为( )A.4B.5C.6D.75.设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )A.[－4，－2]B.[－2,0]C.[0,2]D.[2,4]6.(2022·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )A.(2，＋∞)B.(－∞，－2)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)7.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为( )A.1－2aB.2a－110\nC.1－2－aD.2－a－18.(2022·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是__________.9.已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.10.方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________.11.(2022·江苏)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.12.已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是__________.10\n答案精析第9练 顾全局——函数零点问题常考题型精析例1 (1)D (2)①－1 ②∪[2，＋∞)解析 (1)令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).所以当x<0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x<0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋>0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1,3}.(2)①当a＝1时，f(x)＝当x<1时，f(x)＝2x－1∈(－1,1)，当x≥1时，f(x)＝4(x2－3x＋2)＝4≥－1，∴f(x)min＝－1.②由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)＝2x－a，x<1没有零点时，a≥2或a≤0.当a≥2时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时，有2个零点；当a≤0时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时无零点.因此a≥2满足题意.当f(x)＝2x－a，x<1有一个零点时，0<a<2.f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1有一个零点，此时a<1,2a≥1，因此≤a<1.综上知实数a的取值范围是.变式训练1 B[函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数可转化为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，作出函数f(x)＝x－[x]＝与函数g(x)＝log4(x－1)的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是2.]10\n例2 1<a<2解析 画出函数f(x)的图象如图所示.函数y＝f(x)－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0).当a＝2时，函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点.故a<2.当y＝a|x|(x≤0)与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，此时，由得x2＋(5－a)x＋4＝0.由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，则当1<a<2时，两个函数图象有4个交点.故实数a的取值范围是1<a<2.变式训练2 <a<解析 由f(x＋2)＝f(x)得函数的周期是2.由ax＋2a－f(x)＝0得f(x)＝ax＋2a，设y＝f(x)，y＝ax＋2a，作出函数y＝f(x)，y＝ax＋2a的图象，如图，要使方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则直线y＝ax＋2a＝a(x＋2)的斜率满足kAH<a<kAG，由题意可知，G(1,2)，H(3,2)，A(－2,0)，所以kAH＝，kAG＝，10\n所以<a<.高考题型精练1.A[在同一坐标系中画出函数y＝e－x与y＝|lnx|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x1，x2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞).不妨设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，则有e－x1＝|lnx1|＝－lnx1∈(e－1,1)，e－x2＝|lnx2|＝lnx2∈(0，e－1)，e－x2－e－x1＝lnx2＋lnx1＝lnx1x2∈(－1,0)，于是有e－1<x1x2<e0，即<x1x2<1.]2.D[方法一 当x>2时，g(x)＝x＋b－4，f(x)＝(x－2)2；当0≤x≤2时，g(x)＝b－x，f(x)＝2－x；当x<0时，g(x)＝b－x2，f(x)＝2＋x.由于函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，所以方程f(x)－g(x)＝0恰有4个根.当b＝0时，当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋8＝0，无解；当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x－(－x)＝0，无解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x＋2＝0，无解.所以b≠0，排除答案B.当b＝2时，当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为(x－2)2＝x－2，得x＝2(舍去)或x＝3，有1解；当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝2－x，有无数个解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x2＝x＋2，得x＝0(舍去)或x＝－1，有1解.所以b≠2，排除答案A.当b＝1时，当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋7＝0，无解；当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为1－x＝2－x，无解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x＋1＝0，无解.所以b≠1，排除答案C.因此答案选D.方法二 记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：y＝x－4，当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时，由10\n解得b′＝－，－－(－4)＝，所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有两个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当＜b＜2时，f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点，即y＝f(x)－g(x)恰有4个零点.选D.]3.D[当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0.]4.B[∵2sinπx－x＋1＝0，∴2sinπx＝x－1，图象如图所示，由图象看出y＝2sinπx与y＝x－1有5个交点，∴f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.]5.A[f(0)＝4sin1>0，f(2)＝4sin5－2，由于π<5<2π，所以sin5<0，故f(2)<0，则函数在[0,2]上存在零点；由于f(－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；令x＝∈[2,4]，则f()＝4sin－＝4－＝>0，而f(2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B[f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈(0，)时，f′(x)<0；x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f()＝>0，则f(x)的大致图象如图1所示.10\n图1不符合题意，排除A、C.当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)<0，当x∈(－，0)时，f′(x)>0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f(－)＝－，则f(x)的大致图象如图2所示.图2不符合题意，排除D.]7.A[当0≤x<1时，f(x)≤0.由F(x)＝f(x)－a＝0，画出函数y＝f(x)与y＝a的图象如图.函数F(x)＝f(x)－a有5个零点.当－1<x<0时，0<－x<1，所以f(－x)＝log0.5(－x＋1)＝－log2(1－x)，即f(x)＝log2(1－x)，－1<x<0.由f(x)＝log2(1－x)＝a，解得x＝1－2a，因为函数f(x)为奇函数，所以函数F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为1－2a.]8.解析 画出函数f(x)的图象如图.要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同交点，则图易知k∈.10\n9.2解析 由于2<a<3<b<4，故f(1)＝loga1＋1－b＝1－b<0，而0<loga2<1,2－b∈(－2，－1)，故f(2)＝loga2＋2－b<0，又loga3∈(1,2)，3－b∈(－1,0)，故f(3)＝loga3＋3－b>0，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n＝2.10.2解析 方程变形为3－x2＝2－x＝()x，令y1＝3－x2，y2＝()x.如图所示，由图象可知有2个交点.11.4解析 令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示.由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.12.解析 由题意作出f(x)在[－1,3]上的图象如图，记y＝k(x＋1)＋1，10\n∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1).记B(2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y＝f(x)与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，故kAB<k<0，kAB＝＝－，∴－<k<0.10
