第35练 “排列、组合”常考问题[题型分析·高考展望] 该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但解决问题的方法十分灵活，主要内容是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考试题主要以选择题和填空题的方式呈现，考查排列、组合的应用.常考题型精析题型一 排列问题例1 (1)(2022·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答).(2)即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为________.点评 求解排列问题的常用方法：(1)特殊元素(特殊位置)优先法；(2)相邻问题捆绑法；(3)不相邻问题插空法；(4)定序问题缩倍法；(5)多排问题一排法.变式训练1 (1)(2022·辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24(2)(2022·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比4010\n000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个题型二 组合问题例2 在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法.(1)至少有2名外籍搜救队队员；(2)至多有3名外籍搜救队队员. 点评 (1)先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题.(2)看是否需要分类、分步，如何确定分类标准.10\n(3)判断是否为“分组”问题，避免重复.变式训练2 (1)(2022·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)(2)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是____________.(用数字作答)题型三 排列与组合的综合应用问题例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 点评 (1)排列、组合混合问题一般“先选后排”.(2)对于较复杂的排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”.(3)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解.变式训练3 (1)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种.(用数字作答)(2)(2022·广东)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i10\n＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130高考题型精练1.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.2792.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是( )A.9B.10C.18D.203.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9!4.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种5.(2022·泰安模拟)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A.232B.252C.472D.4846.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )A.96B.8410\nC.60D.487.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________.8.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有______种.9.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为社会关注的5个热点.小王想在2022年国庆节期间调查一下社会对这些热点的关注度.若小王准备从中选取4个热点分别进行调查，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________.10.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个，11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个.11.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种.12.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 10\n 10\n答案精析专题8概率与统计第35练 “排列、组合”常考问题常考题型精析例1 (1)1560 (2)480解析 (1)依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1560条毕业留言.(2)方法一 (位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边，有A种站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A种站法.由分步乘法计数原理，知共有AA＝480(种)不同的站法.方法二 (元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A种站法.由分步乘法计数原理，知共有AA＝480(种)不同的站法.方法三 (反面求解法)6人没有限制的排队有A种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A种站法，因此符合条件的不同站法共有A－2A＝480(种).变式训练1 (1)D (2)B解析 (1)剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.(2)由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A＝72个；若万位是4，则有2×A个＝48个，故比40000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.例2 解 (1)方法一 (直接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类：①有2名外籍队员，共有C·C种组队方法；②有3名外籍队员，共有C·C种组队方法；③有4名外籍队员，共有C·C种组队方法.根据分类加法计数原理，知至少有2名外籍搜救队队员共有C·C＋C·C＋C·C＝301(种)不同的组队方法.10\n方法二 (间接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”，可分为2类：①只有1名外籍搜救队队员，共有CC种组队方法；②没有外籍搜救队队员，共有CC种组队方法.所以至少有2名外籍搜救队队员共有C－CC－CC＝301(种)不同的组队方法.(2)方法一 (直接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类：①有3名外籍搜救队队员，共有CC种方法；②有2名外籍搜救队队员，共有CC种方法；③有1名外籍搜救队队员，共有CC种方法；④没有外籍搜救队队员，共有C种方法.由分类加法计数原理，知至多有3名外籍搜救队队员共有CC＋CC＋CC＋C＝455(种)不同的组队方法.方法二 (间接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”.因为至少有4名外籍搜救队队员，共有CC种组队方法，所以至少有3名外籍搜救队队员共有C－CC＝455(种)不同组队方法.变式训练2 (1)60 (2)590解析 (1)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有A种分法，所以不同获奖情况种数为A＋CA＝24＋36＝60.(2)分三类：①选1名骨科医生，则有C(CC＋CC＋CC)＝360(种).②选2名骨科医生，则有C(CC＋CC)＝210(种)；③选3名骨科医生，则有CCC＝20(种).∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.例3 解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCCA＝144(种).10\n(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法.故共有C(CCA＋·A)＝84(种).变式训练3 (1)480 (2)D解析 (1)分类讨论：A、B都在C的左侧，且按C的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况.所以共有：2(A·A＋CA·A＋CA＋A)＝480.(2)在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有C×2种；②两个1(或－1)，三个0，有C×2种；③一个－1，一个1，三个0，有A种；④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有CC×2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有C×2种.故共有C×2＋C×2＋A＋CC×2＋C×2＝130(种)，故选D.高考题型精练1.B[无重复的三位数有：A＋AA＝648个.则有重复数字的三位数有：900－648＝252个.]2.C[由于lga－lgb＝lg(a>0，b>0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为有A＝20种，又与相同，与相同，∴lga－lgb的不同值的个数有A－2＝20－2＝18，选C.]3.C[把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种.]4.D[满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C·C＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种).]5.C[分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C－3C＝220－12＝208(种).由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种).]6.B[可依次种A、B、C、D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C与A10\n所种花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法，由分类加法计数原理知不同的种法总数为36＋48＝84.]7.96解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A种分法，∴不同的分法种数共有4A＝96.8.60解析 可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有A＝60(种).9.72解析 先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点中选出3个，有C种不同的选法.在调查时，“雾霾治理”的安排顺序有A种可能情况，其余3个热点的安排顺序有A种，故不同调查顺序的种数为CAA＝72.10.(1)90 (2)9×10n解析 从左右对称入手考虑.(1)4位回文数第1、4位取同一个非零数有C＝9(种)选法，第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90(个)，即4位回文数有90个.(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n＋1(n∈N*)位回文数有9×10n个.11.48解析 ①只有1名老队员的排法有C·C·A＝36种；②有2名老队员的排法有C·C·C·A＝12种.所以共48种.12.解 如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法.由分步乘法计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法；②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知.有5×4×4＝80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法.10
