第32练 与抛物线有关的热点问题[题型分析·高考展望] 抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点.考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上.常考题型精析题型一 抛物线的定义及其应用例1 设P是抛物线y2＝4x上的一动点，(1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|＋|PF|的最小值. 点评 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式训练1 已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( )A.1B.2C.4D.8题型二 抛物线的标准方程及几何性质15\n例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程. 点评 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式训练2 (2022·福建)如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA15\n相切的圆，必与直线GB相切. 题型三 直线和抛物线的位置关系例3 (2022·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由. 15\n点评 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练3 (2022·长春模拟)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 高考题型精练15\n1.(2022·辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )A.B.C.D.2.(2022·浙江)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B.C. D.3.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是( )A.2±B.2＋C.±1D.－14.(2022·课标全国Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A.B.C.D.5.已知抛物线y2＝8x的准线为l，点Q在圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PQ|的最小值等于( )A.3B.2C.4D.56.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( )A.－4B.415\nC.p2D.－p27.(2022·湖南)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则＝________.8.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若A＝M，则p＝________.9.过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.10.已知抛物线C的方程为y2＝－8x，设过点N(2,0)的直线l的斜率为k，且与抛物线C相交于点S，T，若S，T两点只在第二象限内运动，线段ST的垂直平分线交x轴于Q点，则Q点横坐标的取值范围为________.11.(2022·安徽)如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点.(1)证明：A1B1∥A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值. 12.(2022·湖南)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b15\n>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向.(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率. 15\n答案精析第32练 与抛物线有关的热点问题常考题型精析例1 解 (1)由于A(－1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则|AP|＋|PF|≥|AF|＝＝，从而知点P到A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到A(－1,1)的距离与P到直线x＝－1的距离之和的最小值也为.(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时|P1Q|＝|P1F|，那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.变式训练1 A解析 由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.例2 解 由题意，得抛物线方程为x2＝2ay(a≠0).设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则|MA|＝|AN|，而|AN|＝.∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，∴N(，±2).∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.抛物线x2＝y的焦点坐标为，准线方程为y＝－.抛物线x2＝－y的焦点坐标为，准线方程为y＝.变式训练2 解 方法一 (1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.15\n(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2).由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1).由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1,0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－.所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.方法二 (1)同方法一.(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2).由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1).由得2x2－5x＋2＝0.解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1,0)，故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0.从而r＝＝.又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0.所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.例3 解 (1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a).又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.15\ny＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝＋＝＝.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.变式训练3 解 (1)∵抛物线C：x2＝y，∴它的焦点F(0，).(2)∵|RF|＝yR＋，∴2＋＝3，得m＝.(3)存在，联立方程消去y得mx2－2x－2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－.设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)∵P是线段AB的中点，∴P(，)，即P(，yP)，∴Q(，).得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)，若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0，即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0，结合(*)化简得－－＋4＝0，15\n即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，而2∈(－，＋∞)，－∉(－，＋∞).∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.高考题型精练1.D[抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，而点A(－2,3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0).设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)①，由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.因为切点在第一象限，所以k＝.将k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为＝.]2.A[由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.]3.A[依题意得F，设P，Q(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得＋＝＋，∴y＝y，∴y1＝－y2.又|PQ|＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，点P.又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|＝＋＝2，由此解得p＝2±15\n，故选A.]4.D[由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y＝(x－)，即4x－4y－3＝0.方法一 联立抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.方法二 联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝＝，因此S△OAB＝|AB|·h＝.]5.A[如图所示，由题意，知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，连接PF，则d＝|PF|.圆C的方程配方，得(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圆心为C(－1,4)，半径r＝2.d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|，显然，|PF|＋|PQ|≥|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取等号).而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离，显然当F，Q，C三点共线时取得最小值，最小值为|CF|－r＝－2＝5－2＝3.]6.A[①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，则x1x2＝；②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k(x－)，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，15\n则x1x2＝.则y1y2＝－p2.故＝－4.]7.＋1解析 ∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，∴C(，－a)，F(＋b，b).又∵点C，F在抛物线y2＝2px(p>0)上，∴解得＝＋1.8.2解析 如图，由AB的斜率为，知α＝60°，又A＝M，∴M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l于点P，则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.∴＝＝.∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.9.解析 ∵＋＝＝2，|AB|＝|AF|＋|BF|＝，|AF|<|BF|，∴|AF|＝，|BF|＝.10.(－∞，－6)解析 设S(x1，y1)，T(x2，y2)，由题意得直线ST的方程为y＝k(x－2)(显然k≠0)，与y2＝－8x联立，得ky2＋8y＋16k＝0，y1＋y2＝－，y1y2＝16.因为直线l与抛物线C相交于S，T两点，所以Δ＝64－64k2>0，再由y1>0，y2>0，则－>0，故－1<k<0.又线段ST的中点坐标为，所以线段ST的垂直平分线方程为y＋＝－.令y＝0，得Q点的横坐标为xQ＝－2－<－6，故Q点横坐标的取值范围为(－∞，－6).11.(1)证明 设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，由15\n得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以＝＝2p1.＝(－，－)＝2p2(－，－)故＝，所以A1B1∥A2B2.(2)解 由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2，所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此＝2.又由(1)中的＝知＝，故＝.12.解 (1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以＋＝1.②联立①，②得a2＝9，b2＝8.故C2的方程为＋＝1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4).因与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③15\n设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.由得x2－4kx－4＝0.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3＋x4＝－，x3x4＝－，⑤将④，⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，即16(k2＋1)＝，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，即直线l的斜率为±.15
