专题二 函数与导数第1讲 函数图象与性质真题试做1．(2012·山东高考，文3)函数f(x)＝＋的定义域为( )．A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2]D．(－1,2]2．(2012·天津高考，文6)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )．A．y＝cos2x，x∈RB．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝，x∈RD．y＝x3＋1，x∈R3．(2012·山东高考，文10)函数y＝的图象大致为( )．4．(2012·四川高考，文4)函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )．5．(2012·湖北高考，文6)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )．-8-\n6．(2012·安徽高考，文13)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝__________.考向分析高考对函数图象与性质的考查主要体现在函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等方面．题型以选择题、填空题为主，一般属中档题．函数图象考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题考查角度有两个方面，一是函数解析式与函数图象的对应关系；二是利用图象研究函数性质、方程及不等式的解等，综合性较强，望同学们加强训练．热点例析热点一 函数及其表示(1)函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )．A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)(2)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于( )．A.B.C．2D．0规律方法1.根据具体函数y＝f(x)求定义域时，只要构建使解析式有意义的不等式(组)求解即可．2．根据抽象函数求定义域时：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．3．求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．特别地，对具有周期性的函数求值要用好其周期性．变式训练1已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为__________．热点二 函数图象及其应用(1)函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )．A．2B．4C．6D．8(2)(2012·安徽江南十校联考，文7)已知关于x的方程|x2－6x|＝a(a＞0)的解集为p，则p中所有元素的和可能是( )．A．3,6,9B．6,9,12C．9,12,15D．6,12,15规律方法-8-\n(1)作函数的图象的基本思想方法大致有三种：①通过函数的图象变换利用已知函数的图象作图；②对函数解析式进行恒等变换，转化成已知方程对应的曲线；③通过研究函数的性质明确函数图象的位置和形状．(2)已知函数的解析式选择其对应的图象时，一般是首先通过研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质以及图象经过的特殊点等来获得相应的图象特征，然后对照图象特征选择正确的图象．(3)研究两个函数交点的横坐标或纵坐标之和，常利用函数的对称性，如中心对称或轴对称．变式训练2设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2011)＋f(2012)＝( )．A．3B．2C．1D．0热点三 函数性质的综合应用【例3-1】(2012·皖北协作区联考，文18)函数f(x)＝2x－的定义域为(0,1](a为实数)．(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围．【例3-2】已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．规律方法(1)求解这类涉及函数性质的题目时，既要充分利用题目的已知条件进行直接的推理、判断，又要合理地运用函数性质之间的联系，结合已知的结论进行间接地判断，若能画出图象的简单草图，“看图说话”，往往起到引领思维方向的作用．(2)判断函数的单调性的一般规律：对于选择题、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式、三角函数式等较复杂的用导数法；对于抽象函数一般用定义法．变式训练3设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈[3,4]时，f(x)＝x－3.其中所有正确命题的序号是__________．思想渗透数形结合思想在函数中的应用数形结合思想能把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或利用数量关系来研究图形性质，是一种重要的数学方法．数形结合思想在解决函数问题时常有以下几种类型：(1)利用函数图象求参数范围；(2)利用函数图象研究方程根的范围；(3)利用一些代数式的几何意义转化为求函数的最值问题；(4)利用函数图象变化研究其性质，如单调性、奇偶性、最值、对称性等．【典型例题】若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m-8-\n的取值范围．解：原方程可化为－(x－2)2＋1＝m(0＜x＜3)，设y1＝－(x－2)2＋1(0＜x＜3)，y2＝m.在同一坐标系中画出它们的图象(如图)．由原方程在(0,3)内有唯一解，知y1与y2的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是－3＜m≤0或m＝1.又－x2＋3x－m＞0在x∈(0,3)内恒成立，∴m≤0.∴m的取值范围为－3＜m≤0.1．(2012·安徽高考，文3)(log29)·(log34)＝( )．A.B.C．2D．42．设函数f(x)＝若f(m)＞f(－m)，则m的取值范围是( )．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)3．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则g(x)＝ax＋b的图象是( )．4．(2012·福建高考，文9)设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为( )．A．1B．0C．－1D．π5．对于函数f(x)＝acosx＋bx2＋c，其中a，b，c∈R，适当地选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果只可能是( )．A．4和6B．3和－3C．2和4D．1和16．(2012·安徽江南十校联考，文14)令f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)．如果对k(k∈N*)，满足f(1)·f(2)·…·f(k)为整数，则称k为“好数”，那么区间[1,2012]内所有的“好数”的和M＝__________.7．(2012·山东潍坊一模，16)已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；-8-\n②直线x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为__________．8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)＝(1)分别求a，b，c，d的值；(2)画出f(x)的简图并写出其单调区间．参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．B 解析：由得所以定义域为(－1,0)∪(0,2]．2．B 解析：对于A，y＝cos2x是偶函数，但在区间内是减函数，在区间内是增函数，不满足题意．对于B，log2|－x|＝log2|x|，是偶函数，当x∈(1,2)时，y＝log2|x|＝log2x是增函数，满足题意．对于C，f(－x)＝＝＝－f(x)，∴y＝是奇函数，不满足题意．对于D，y＝x3＋1是非奇非偶函数，不满足题意．3．D 解析：令f(x)＝，则f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．又因为当x∈时，cos6x＞0,2x－2－x＞0，即f(x)＞0，而f(x)＝0有无数个根，所以D正确．4．C 解析：当a＞1时，y＝ax是增函数，－a＜－1，则函数y＝ax－a的图象与y轴的交点在x轴下方，故选项A不正确；y＝ax－a的图象与x轴的交点是(1,0)，故选项B不正确；当0＜a＜1时，y＝ax是减函数，y＝ax－a的图象与x轴的交点是(1,0)，故选项C正确；若0＜a＜1，则－1＜－a＜0，y＝ax－a的图象与y轴的交点在x轴上方，故选项D不正确．5．B 解析：y＝f(x)y＝f(－x)y＝f[－(x－2)]＝f(2－x)y＝－f(2－x)，故选B.6．－6 解析：f(x)＝|2x＋a|＝∵函数f(x)的单调递增区间是[3，＋∞)，∴－＝3，即a＝－6.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】(1)C 解析：由得x＞－1且x≠1，故选C.(2)C 解析：f(x)＝∵0＜1，∴f(0)＝20＋1＝2.∵f(0)＝2≥1，∴f(f(0))＝f(2)＝22＋2a＝4a，∴a＝2，故选C.【变式训练1】－ 解析：(1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，-8-\n由f(1－a)＝f(1＋a)得，2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)．(2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)得，－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－.【例2】(1)D 解析：函数y＝的图象关于点(1,0)对称，函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象也关于点(1,0)对称．在同一个坐标系中，作出两函数图象．如图：由图知两函数在[－2,4]上共有8个交点，且这8个交点两两关于(1,0)对称，即x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8.(2)B 解析：y＝|x2－6x|的图象是把y＝x2－6x的图象在x轴下方的部分翻到上方，上方的部分保持不变，如图，由图可知，画任意一条横线，根总是关于x＝3对称，从上往下移动可知：P中所有元素的和可能是6,9,12，所以选B.【变式训练2】A 解析：因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2011)＋f(2012)＝f(670×3＋1)＋f(671×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2011)＋f(2012)＝1＋2＝3.【例3－1】解：(1)当a＝－1时，f(x)＝2x＋，x∈(0,1]，设x1＜x2∈(0,1]，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)，∴当x1，x2∈时，f(x2)－f(x1)＜0.当x1，x2∈时，f(x2)－f(x1)＞0，即f(x)在上递减，在上递增，又f＝2，∴f(x)的值域为[2，＋∞)．(2)当a≥0时，f(x)在(0,1]上递增，不合题意；-8-\n当a＜0时，由函数性质(或同(1)的处理)可知f(x)在上递减，在上递增，若f(x)在(0,1]上递减，则1≤，即a≤－2.【例3－2】解：(1)∵f(x)为奇函数，由f(－1)＝－f(1)，得(－1)2－m＝－(－12＋2)，∴m＝2.(2)∵f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，∴得1＜a≤3.【变式训练3】①②④ 解析：在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；由于f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(1－x)，结合f(x＋1)＝f(x－1)得f(1＋x)＝f(1－x)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称，而当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x＝2x－1单调递增，所以f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f(x)在一个周期区间[0,2]上的最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝f(2)＝，所以函数f(x)的最大值为1，最小值为，故③不正确；设x∈[3,4]，则x－4∈[－1,0]，4－x∈[0,1]，于是f(4－x)＝1－(4－x)＝x－3，而由函数f(x)的周期为2和函数f(x)为偶函数知f(4－x)＝f(－x)＝f(x)，从而当x∈[3,4]时，f(x)＝x－3，故④正确．创新模拟·预测演练1．D 解析：原式＝(log232)·(log322)＝4(log23)·(log32)＝4··＝4.2．D 解析：当m＞0时，＞log2m，∴＞m，∴0＜m＜1；当m＜0时，log2(－m)＞，∴－＜－m，∴m＜－1.∴m的取值范围是m＜－1或0＜m＜1.3．A 解析：由题图知0＜a＜1，b＜－1，故选A.4．B 解析：∵g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.5．D 解析：∵f(1)＝acos1＋b＋c，f(－1)＝acos1＋b＋c，∴f(1)＝f(－1)，只可能D正确．6．2026 解析：对任意正整数k，有f(1)·f(2)·…·f(k)＝log23·log34·…·logk＋1(k＋2)＝··…·＝＝log2(k＋2)．若k为“好数”，则log2(k＋2)∈Z，从而必有k＋2＝2l(l∈N*)．令1≤2l－2≤2012，解得2≤l≤10.所以[1,2012]内所有“好数”的和为M＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－2×9＝2026.-8-\n7．①②④ 解析：(1)令x＝－2，则f(2)＝f(－2)＋f(2)，∵函数f(x)为偶函数，∴f(2)＝0，①正确．(2)∵f(2)＝0，∴f(x＋4)＝f(x)，函数周期为T＝4.又∵函数f(x)为偶函数，有一条对称轴的方程为x＝0，∴直线x＝－4是函数f(x)的一条对称轴，②正确．(3)∵函数y＝f(x)在[0,2]上单调递减，周期为4，∴函数y＝f(x)在区间[8,10]上的单调性同区间[0,2]一样为单调递减，故③不正确．(4)函数f(x)有一条对称轴的方程为x＝－4，又方程f(x)＝m在[－6，－2]上有两根x1，x2，则x1＋x2＝－8，故④正确．故为①②④.8．解：(1)y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，得a＝0.设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3.而f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－2x＋3，故b＝－1，c＝－2，d＝3.(2)简图如下：由图象可得：f(x)的单调减区间为(－1,1)，单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．-8-
