12＋4分项练4 平面向量与数学文化1．(2022·贵阳模拟)如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若＝a，＝b，则等于( )A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b答案 B解析 ∵在△ABC中，BE是AC边上的中线，∴＝，∵O是BE边的中点，∴＝(＋)，10\n∴＝＋，∵＝a，＝b，∴＝a＋b.2．已知向量a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，则a在a＋b方向上的投影为( )A.B.C.D.答案 D解析 由a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，可知|a|＝＝2，(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝64，则a·b＝－7，所以a在a＋b方向上的投影为＝＝＝.3．若两个非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，则a与b的夹角为( )A.B.C.D.答案 C解析 设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则由|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，得(2a＋b)2＝12，即(2a)2＋4a·b＋b2＝4＋4a·b＋4＝12，所以a·b＝1，所以cosθ＝，所以θ＝.4．(2022·上饶模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于( )A.B.C.D.10\n答案 C解析 如图，||＝||＝2，〈，〉＝60°，∵D，E是边BC的两个三等分点，∴·＝·＝·＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝.5．(2022·东北三省三校模拟)非零向量a，b满足：＝，a·(a－b)＝0，则a－b与b夹角的大小为( )A．135°B．120°C．60°D．45°答案 A解析 ∵非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，所以a2＝a·b，由＝可得，a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝|a|，设a－b与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝－，又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝135°.6．(2022·东北师大附中模拟)《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子．这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是( )A．15B．16C．18D．21答案 C解析 设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得S5＝5a1＋×3＝60，解得a1＝6，则a5＝a1＋(5－1)×3＝6＋12＝18.10\n7．(2022·南昌模拟)在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8(种)组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是( )A.B.C.D.答案 B解析 在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件的总数为n＝26＝64，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为m＝C＝20，所以这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是P＝＝＝.8．(2022·新乡模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9个人需要步行．问人与车各多少？如图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出S的值为( )A．31B．33C．35D．39答案 D解析 结合题中所给的程序框图运行程序如下：首先初始化数据：n＝1，10\n第一次循环：n＝n＋2＝3，S＝3n＝9，T＝2n＋13＝19，满足S<T；第二次循环：n＝n＋2＝5，S＝3n＝15，T＝2n＋13＝23，满足S<T；第三次循环：n＝n＋2＝7，S＝3n＝21，T＝2n＋13＝27，满足S<T；第四次循环：n＝n＋2＝9，S＝3n＝27，T＝2n＋13＝31，满足S<T；第五次循环：n＝n＋2＝11，S＝3n＝33，T＝2n＋13＝35，满足S<T；第六次循环：n＝n＋2＝13，S＝3n＝39，T＝2n＋13＝39，不满足S<T，此时结束循环，输出S＝39.9．(2022·聊城模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则·＋·的最小值为( )A．1B．2C．－2D．－1答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2)．设点P的坐标为(x，y)，则＝，＝(－x，－y)，故·＋·＝·＝2·＝2＝2－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立．所以·＋·的最小值为－2.10．(2022·大连模拟)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0<x<1,0<y<1)；②若卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m；④根据统计数m估计π的值．假如本次试验的统计结果是m＝113，那么可以估计π的值约为( )A.B.C.D.答案 A10\n解析 由题意，500对都小于1的正实数对(x，y)满足面积为1，设能与1构成锐角三角形的最大角为α，则三边的数对(x，y)需满足cosα＝>0且即x2＋y2>1且面积为1－，因为统计能与1构成锐角三角形三边的数对(x，y)的个数m＝113，所以＝1－，所以π＝.11．(2022·南平质检)我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等10部算书，被称为“算经十书”．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( )A．乙甲丙丁B．甲丁乙丙C．丙甲丁乙D．甲丙乙丁答案 D解析 由题意可列表格如下：甲乙丙丁甲说丁>乙乙说甲>丙丙说丙>丁丁说丙>乙对于选项A，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对；对于选项B，丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对；对于选项C，乙说的对，但乙不是最少的，不符合；对于选项D，甲说的对，也正好是最少的，符合，选D.10\n12．已知在三角形ABC中，AB<AC，∠BAC＝90°，边AB，AC的长分别为方程x2－2(1＋)x＋4＝0的两个实数根，若斜边BC上有异于端点的E，F两点，且EF＝1，∠EAF＝θ，则tanθ的取值范围为( )A.B.C.D.答案 C解析 由题意可知AB＝2，AC＝2，BC＝＝4.建立如图所示的坐标系，则点A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)．设＝λ，λ∈，＝，则F(2－2λ，2λ)，E.所以·＝(2－2λ，2λ)·＝3－4λ－3λ＋4λ2＋12λ2＋3λ＝16λ2－4λ＋3＝162＋∈.因为点A到BC边的距离d＝＝，所以△AEF的面积S△AEF＝EF·＝为定值．所以＝＝tanθ，故tanθ＝＝∈，故选C.13．(2022·石家庄模拟)已知向量a与b的夹角是，|a|＝1，|b|＝，则向量a－2b与a10\n的夹角为________．答案 解析 a·b＝cos＝，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝，|a－2b|＝＝＝＝1.设向量a－2b与a的夹角为θ，cosθ＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.14．(2022·宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x，y，z，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组的解．其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数m的值为________．答案 4解析 由得y＝25－x，故x必为4的倍数，当x＝4t时，y＝25－7t，由y＝25－7t>0得，t的最大值为3，10\n故判断框应填入的是t<4？，即m＝4.15．(2022·湘潭模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体(记为ABCD－A1B1C1D1)的粮仓，宽3丈(即AD＝3丈)，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是________．(填写所有正确结论的序号)①该粮仓的高是2丈；②异面直线AD与BC1所成角的正弦值为；③长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面积为π平方丈．答案 ①③解析 由题意，因为10000×2.7＝30×45×AA1，解得AA1＝20(尺)＝2(丈)，故①正确；异面直线AD与BC1所成角为∠CBC1，则sin∠CBC1＝＝，故②错误，此长方体的长、宽、高分别为4.5丈、3丈、2丈，故其外接球的表面积为4π2＝π(平方丈)，所以③是正确的．16．(2022·咸阳模拟)已知圆的半径为1，A，B，C，D为该圆上四个点，且＋＝，则△ABC面积的最大值为________．答案 1解析 如图所示，由＋＝知，四边形ABDC为平行四边形，又A，B，C，D四点共圆，∴四边形ABDC为矩形，即BC为圆的直径，10\n△ABC的面积S＝AB·AC≤·＝AD2，∴当AD是圆的直径时，△ABC的面积最大．∴当AB＝AC时，△ABC的面积取得最大值×4＝1.10
