12＋4分项练4 平面向量与数学文化1．(2022·贵阳模拟)如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若＝a，＝b，则等于( )A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b答案 B解析 ∵在△ABC中，BE是AC边上的中线，∴＝，∵O是BE边的中点，∴＝(＋)，∴＝＋，∵＝a，＝b，9\n∴＝a＋b.2．已知向量a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，则a在a＋b方向上的投影为( )A.B.C.D.答案 D解析 由a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，可知|a|＝＝2，(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝64，则a·b＝－7，所以a在a＋b方向上的投影为＝＝＝.3．若两个非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，则a与b的夹角为( )A.B.C.D.答案 C解析 设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则由|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，得(2a＋b)2＝12，即(2a)2＋4a·b＋b2＝4＋4a·b＋4＝12，所以a·b＝1，所以cosθ＝，所以θ＝.4．(2022·上饶模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于( )A.B.C.D.答案 C解析 如图，||＝||＝2，〈，〉＝60°，9\n∵D，E是边BC的两个三等分点，∴·＝·＝·＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝.5．(2022·烟台模拟)如果＝2，＝3，a·b＝4，则的值是( )A．24B．2C．－24D．－2答案 B解析 由＝2，＝3，a·b＝4，得＝＝＝＝2.6．(2022·昆明模拟)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A．65B．176C．183D．184答案 D解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，解得a1＝65.由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则给出下列结论：①·＝0；②·＝－；③＋＝－；④|－|＝.其中正确结论的个数为( )9\nA．4B．3C．2D．1答案 B解析 正八边形ABCDEFGH中，HD⊥BF，∴·＝0，故①正确；·＝1×1×cos＝－，故②正确；＋＝＝－，故③正确；|－|＝||＝|－|，则||2＝1＋1－2×1×1×cos＝2＋，∴||＝，故④错误．综上，正确的结论为①②③，故选B.8．(2022·芜湖模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有一道题目，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？如图是源于其思想的一个程序框图，若输出的S＝2(单位：升)，则输入k的值为( )A．6B．7C．8D．9答案 C解析 阅读程序框图，初始化数值n＝1，S＝k，9\n循环结果执行如下：第一次：n＝1<4成立，n＝2，S＝k－＝；第二次：n＝2<4成立，n＝3，S＝－＝；第三次：n＝3<4成立，n＝4，S＝－＝；第四次：n＝4<4不成立，输出S＝＝2，解得k＝8.9．(2022·聊城模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则·＋·的最小值为( )A．1B．2C．－2D．－1答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2)．设点P的坐标为(x，y)，则＝，＝(－x，－y)，故·＋·＝·＝2·＝2＝2－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立．所以·＋·的最小值为－2.10．(2022·石家庄模拟)三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的直角三角形(直角边长之比为1∶)围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是( )A.B.9\nC．1－D．1－答案 C解析 由题意可知，设直角三角形的直角边长分别为k，k(k>0)，则大正方形的边长为2k，小正方形的边长为(－1)k，所以大正方形的面积为4k2，小正方形的面积为(－1)2k2，故所求概率为＝1－.11．(2022·南平质检)我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等10部算书，被称为“算经十书”．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( )A．乙甲丙丁B．甲丁乙丙C．丙甲丁乙D．甲丙乙丁答案 D解析 由题意可列表格如下：甲乙丙丁甲说丁>乙乙说甲>丙丙说丙>丁丁说丙>乙对于选项A，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对；对于选项B，丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对；对于选项C，乙说的对，但乙不是最少的，不符合；对于选项D，甲说的对，也正好是最少的，符合，选D.12．(2022·河北省衡水中学模拟)已知＝＝2，点C在线段AB上，且的最小值为1，则(t∈R)的最小值为( )A.B.C．2D.9\n答案 B解析 ∵＝＝2，∴点O在线段AB的垂直平分线上．∵点C在线段AB上，且的最小值为1，∴当C是AB的中点时最小，此时＝1，∴此时与的夹角为60°，∴，的夹角为120°.又2＝2＋t22－2t·＝4＋4t2－2t·2·2·cos120°＝4t2＋4t＋4＝42＋3≥3，当且仅当t＝－时等号成立．∴2的最小值为3，∴的最小值为.13．(2022·石家庄模拟)已知向量a与b的夹角是，|a|＝1，|b|＝，则向量a－2b与a的夹角为________．答案 解析 a·b＝cos＝，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝，|a－2b|＝＝＝＝1.设向量a－2b与a的夹角为θ，cosθ＝＝，又因为θ∈[0，π]，9\n所以θ＝.14．(2022·宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x，y，z，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组的解．其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数m的值为________．答案 4解析 由得y＝25－x，故x必为4的倍数，当x＝4t时，y＝25－7t，由y＝25－7t>0得，t的最大值为3，故判断框应填入的是t<4？，即m＝4.15．若非零向量a，b满足|b|＝|a|，若(a＋2b)⊥(3a－tb)，a与b的夹角等于，则实数t的值为________．答案 解析 由a与b的夹角等于可得cos＝＝，故a·b＝|a|2.由(a＋2b)⊥(3a－tb)可得3a2－ta·b＋6a·b－2tb2＝0，即3|a|2＋(6－t)|a|2－4t|a|2＝0，9\n又a为非零向量，所以|a|2≠0，则有3＋6－t－4t＝0，解得t＝.16．(2022·咸阳模拟)已知圆的半径为1，A，B，C，D为该圆上四个点，且＋＝，则△ABC面积的最大值为________．答案 1解析 如图所示，由＋＝知，四边形ABDC为平行四边形，又A，B，C，D四点共圆，∴四边形ABDC为矩形，即BC为圆的直径，△ABC的面积S＝AB·AC≤·＝AD2，∴当AD是圆的直径时，△ABC的面积最大．∴当AB＝AC时，△ABC的面积取得最大值×4＝1.9
