12＋4分项练8 概 率1．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( )A．0.80B．0.75C．0.60D．0.48答案 B解析 设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.80×P(B)＝0.60，故P(B)＝0.75.故选B.2．(2022·烟台模拟)若20件产品中有16件一级品，4件二级品．从中任取2件，这2件中至少有1件二级品的概率是( )A.B.C.D.答案 C解析 由题意，由组合数公式求得从20件产品中任取2件的情况总数为C＝190，其中恰有一件二级品和全为二级品的种数为CC＋C＝70，即至少有1件二级品的种数为70.由古典概型的概率计算公式可得概率为P＝＝.3．(2022·大同模拟)把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币平放在一个边长为8的正方形托盘上，则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率为( )A.B.C.D.答案 A8\n解析 如图，要使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以6为边长的正方形内，硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，由测度比为面积比可得，硬币完全落在托盘上的概率为P＝＝.4．(2022·重庆模拟)已知随机变量X～N，若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，则实数a等于( )A．0B．1C．2D．4答案 C解析 因为P＋P＝1，所以P＝1－P＝P，因为X～N，所以1＋2a＋1－a＝2×2，所以a＝2.5．(2022·南阳模拟)甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( )A.B.C.D.答案 D解析 甲乙相邻的排队顺序共有2A＝48(种)，其中甲乙相邻，甲丙相邻的排队顺序共有2A＝12(种)，所以甲乙相邻的条件下，甲丙相邻的概率为＝.6．(2022·大连模拟)某工厂生产的一种零件的尺寸(单位：mm)服从正态分布N.现从该零件的生产线上随机抽取20000件零件，其中尺寸在(500,505]内的零件估计有( )(附：若随机变量X服从正态分布N，则P≈0.6826，P≈0.9544)A．6826个B．9545个C．13654个D．19090个答案 A解析 由P≈0.6826，得P≈0.3413，因此尺寸在内的零件估计有0.3413×20000＝6826(个)．8\n7．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为.构造数列{an}，使an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S2≠0且S8＝2时的概率为( )A.B.C.D.答案 C解析 由题意知，当S8＝2时，说明抛掷8次，其中有5次正面向上，3次反面向上，又因为S2≠0，所以有两种情况：①前2次都正面向上，后6次中有3次正面向上，3次反面向上；②前2次都反面向上，后6次中有5次正面向上，1次反面向上，所以S2≠0且S8＝2时的概率为P＝2C·33＋2C51＝，故选C.8．(2022·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)下图是2022年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载．若图中大正方形的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计π的近似值为( )A.B.C.D.答案 D解析 ∵小正方形的边长为2，∴圆的半径为1，圆的面积为π，又∵大正方形的边长为5，∴大正方形的面积为25，∴由几何概型概率公式可得≈，π≈.9．若随机变量ξ满足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，则下列说法正确的是( )A．E(ξ)＝－4，D(ξ)＝4B．E(ξ)＝－3，D(ξ)＝3C．E(ξ)＝－4，D(ξ)＝－4D．E(ξ)＝－3，D(ξ)＝4答案 D解析 随机变量ξ满足E(1－ξ)＝4，D(1－ξ)＝4，则1－E(ξ)＝4，(－1)2D(ξ)＝4，8\n据此可得E(ξ)＝－3，D(ξ)＝4.10．某校高三年级共有6个班，现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作，每名教师监考一个班级．在6名教师中，甲为其中2个班的任课教师，乙为剩下4个班中2个班的任课教师，其余4名教师均不是这6个班的任课教师，那么监考教师都不但任自己所教班的监考工作的概率为( )A.B.C.D.答案 A解析 对6名教师进行随机安排，共有A种安排方法．其中监考教师都不担任自己所教班的监考工作时，先安排教师甲，当甲担任教师乙所教的两个班中的一班的监考工作时，教师乙有4种安排方法，其余4名教师可以任意安排，共有CCA种安排方法；当甲担任甲和乙都不教的两个班级中的一个班的监考工作时，教师乙有3种安排方法，其余4名教师可以任意安排，共有CCA种安排方法，因此监考教师都不担任自己所教的班级的监考工作的安排方法总数为CCA＋CCA＝14A，故所求概率P＝＝＝.11．依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机撒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为( )A.B.C.D.答案 B解析 如图，原正六边形为ABCDEF，最小的正六边形为A1B1C1D1E1F1.设AB＝a，由已知得∠AOB＝60°，则OA＝a，∠AOM＝30°，则OM＝OAcos∠AOM＝a·cos30°＝，即中间的正六边形的边长为；以此类推，最小的正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为OB1＝OM＝·＝，所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为P＝＝8\n＝，故选B.12．(2022·潍坊模拟)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况下联系，最终保费＝基准保费×(1＋与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表类别浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A1A2A3A4A5A6数量20101038202若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为( )A．a元B．0.958a元C．0.957a元D．0.956a元答案 D解析 由题意可知，一辆该品牌车在第四年续保时的费用X的可能取值有0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a，且对应的概率分别为P(X＝0.9a)＝＝0.2，P(X＝0.8a)＝＝0.1，P(X＝0.7a)＝＝0.1，P(X＝a)＝＝0.38，P(X＝1.1a)＝＝0.2，P(X＝1.3a)＝＝0.02，利用离散型随机变量的分布列的期望公式可以求得E(X)＝0.9a×0.2＋0.8a×0.1＋0.7a×0.1＋a×0.38＋1.1a×0.2＋1.3a×0.02＝0.956a，故选D.13．已知随机变量X的分布列如下表：Xa2348\nPb若E(X)＝2，则a＝________；D(X)＝________.答案 0 解析 由题意得＋b＋＋＝1，∴b＝.∴E(X)＝a×＋2×＋3×＋4×＝2，解得a＝0.∴D(X)＝(0－2)2·＋(2－2)2·＋(3－2)2·＋(4－2)2·＝.8\n14．(2022·吉林调研)某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布N，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90<ξ≤110为事件A，记该同学的成绩80<ξ≤100为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P(B|A)＝________.(结果用分数表示)附：X满足：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544;P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.答案 解析 由题意可知，P(A)＝0.4772，P＝×＝0.1359.∴P＝＝＝.15.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞(如图)，则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是________．答案 解析 四枚硬币的全部的摆法有24＝16(种)，相邻两枚硬币同一面相对的情况有2种，摆法分别是正反正反，反正反正，所以相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的摆法共有16－2＝14(种)，所以概率为P＝＝.16．(2022·钦州质检)甲、乙两人约定在早上7：00至7：15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7：05，7：15，如果他们约定见车就搭乘，则甲和乙恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为________．答案 解析 如图，设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则0≤x≤15,0≤y≤15，甲、乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图8\n所示)是大正方形．将2班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足，即(x，y)必须落在图形中的2个带阴影的正方形内，所以由几何概型的计算公式得P＝＝.8
