第十章第二节统计图表数据的数字特征：用样本估计总体题组一频率分布直方图在估计总体中的应用1.在样本的频率分布直方图中，一共有m(m≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m－1个小矩形面积之和的，且样本容量为100，那么第3组的频数是( )A．0.2B．25C．20D．以上都不正确解析：第3组的频率是，样本容量为100，∴第3组的频数为100×＝20.答案：C2．(2022·湖北高考)样本容量为200的频率分布直方图如以下图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在[2,10)内的概率约为________．解析：由题易知样本数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64；数据落在[2,10)内的概率约为(0.02＋0.08)×4＝0.4.答案：64 0.4题组二茎叶图在估计总体中的应用7/7\n3.某生产车间将10个零件的尺寸(单位：cm)用右面的茎叶图的方式记录下来，那么它们的平均值和中位数分别是________，________.解析：10个零件的尺寸数据如下：14,19,21,22,25,37,39,40,41,42，那么平均数为30，中位数为31.答案：30 314．(2022·福建高考)某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，假设记分员计算无误，那么数字x应该是________.解析：假设茎叶图中的x对应的分数为最高分，那么有平均分＝≈91.4≠91.故最高分应为94.故去掉最高分94，去掉最低分88，其平均分为91，∴＝91，解得x＝1.答案：15．(2022·福州模拟)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：甲 82 82 79 95 87乙 95 75 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；(3)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加适宜？说明理由．7/7\n解：(1)作出茎叶图如下：(2)记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对(x，y)表示根本领件：(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(79,95)，(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)．根本领件总数n＝25.记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的根本领件：(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)．事件A包含的根本领件数m＝12.所以P(A)＝＝.(3)派甲参赛比较适宜．理由如下：甲＝(70×1＋80×3＋90×1＋9＋2＋2＋7＋5)＝85，乙＝(70×1＋80×2＋90×2＋5＋0＋5＋0＋5)＝85，＝[(79－85)2＋(82－85)2＋(82－85)2＋(87－85)2＋(95－85)2]＝31.6，＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(95－85)2]＝50.∵甲＝乙，＜，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较适宜．7/7\n题组三用样本的数字特征估计总体的数字特征6.(2022·四川高考)设矩形的长为a，宽为b，其比满足b：a＝≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定解析：甲＝＝0.617，乙＝＝0.613，∴甲与0.618更接近．答案：A7．(2022·江苏高考)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进展投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679那么以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝________.7/7\n解析：由题中表格得，甲班：平均数甲＝7，＝(12＋02＋02＋12＋02)＝；乙班：乙＝7，＝(12＋02＋12＋02＋22)＝.∵＜，∴两组数据中方差较小的为s2＝＝.答案：题组四用样本估计总体的综合应用8.某样本数据的频率分布直方图的局部图形如以以下图所示，那么数据在[55,65)的频率约为( )A．0.25B．0.025C．0.5D．0.05解析：在图形中并没有明确的数据分布在区间[55,65)，但是有[50,60)，[60,70)段上的频率分布，据此估计样本在[55,65)频率应该在[50,60)，[60,70)频率分布之间．答案：B9.甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如右图，那么平均分数较高的是_______，成绩较为稳定的是________．解析：甲＝(68＋69＋72＋71＋70)＝70，乙＝(63＋68＋69＋69＋71)＝68，s＝[(68－70)2＋(69－70)2＋(72－70)2＋(71－70)2＋(70－70)2]＝2，7/7\ns＝[(63－68)2＋(68－68)2＋(69－68)2×2＋(71－68)2]＝7.2.答案：甲 甲10．(2022·普宁模拟)从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)、第二组[160,165)、…、第八组[190,195]，以以下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一局部，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上(含180cm)的人数；(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(3)假设从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x－y|≤5的事件概率．解：(1)由频率分布直方图知，前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9人，这所学校高三男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18＝144人．(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，设第六组人数为m，那么第七组人数为9－2－m＝7－m，又m＋2＝2(7－m)，所以m＝4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06.7/7\n频率除以组距分别等于0.016,0.012，见图．(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为4人，设为a，b，c，d.身高在[190,195]的人数为2人，设为A，B.假设x，y∈[180,185)时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况．假设x，y∈[190,195]时，有AB共一种情况．假设x，y分别在[180,185)，[190,195]内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况．所以根本领件的总数为6+8+1=15种．事件|x-y|≤5所包含的根本领件个数有6+1=7种，故P(|x-y|≤5)=.7/7
