第2讲统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体1．(2022·陕西省质检)一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)上的频率为0.8，则估计样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数共为( )A．19 B．17C．16D．15解析：选D.由题意得样本数据在[20，60)内的频数为30×0.8＝24，则样本在[40，50)和[50，60)内的数据个数之和为24－4－5＝15.2．(2022·高考广东卷)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A．200，20B．100，20C．200，10D．100，10解析：选A.该地区中小学生总人数为3500＋2000＋4500＝10000，则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20，故选A.3．(2022·郑州第二次质量检测)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝( )A．1B.C.D.解析：选D.由题中茎叶图可知甲的数据为27，30＋m、39，乙的数据为20＋n、32、34、38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也为33，所以有＝33，所以n＝8，所以＝.4．(2022·邢台摸底考试)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其样本方差为( )A.B.C.D．25\n解析：选D.依题意得m＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s2＝(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.5．(2022·武汉调研)如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35，40)的网民出现的频率为( )A．0.04B．0.06C．0.2D．0.3解析：选C.由频率分布直方图的知识得，年龄在[20，25)的频率为0.01×5＝0.05，[25，30)的频率为0.07×5＝0.35，设年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45]的频率为x，y，z，又x，y，z成等差数列，所以可得解得y＝0.2，所以年龄在[35，40)的网民出现的频率为0.2.6．(2022·济南模拟)100名学生某次数学测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[60，80)中的学生人数是________．解析：测试成绩落在[60，80)中的学生人数是100×＝50.答案：507．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．解析：因为小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，且a2＝2a1，所以样本的频率构成一个等比数列，且公比为2，所以a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝1，所以a1＝，所以小长方形面积最大的一组的频数为300×8a1＝160.答案：1608．已知x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数且1，2，x2，－y这四个数据的平均数为1，则y－的最小值为________．解析：1＋2＋x2－y＝4，所以y＝x2－1.由中位数定义知，3≤x≤5，所以y－＝x2－1－.5\n当x∈[3，5]时，函数y＝x2－1与y＝－均为增函数，所以y＝x2－1－为增函数，所以＝8－＝.答案：9．某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：(1)求分数在[50，60]的频率及全班人数；(2)求分数在[80，90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90]间的矩形的高．解：(1)分数在[50，60]的频率为0.008×10＝0.08.由茎叶图知，分数在[50，60]之间的频数为2，所以全班人数为＝25.(2)分数在[80，90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80，90]间的矩形的高为÷10＝0.016.10．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.(1)求出m，n的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s和s，并由此分析两组技工的加工水平．解：(1)根据题意可知：甲＝(7＋8＋10＋12＋10＋m)＝10，乙＝(9＋n＋10＋11＋12)＝10，所以n＝8，m＝3.(2)s＝[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2，s＝[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2，因为甲＝乙，s>s，所以甲、乙两组的整体水平相当，乙组技工更稳定一些．1．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A．3 B．4C．5D．6解析：选C.由x2－5x＋4＝0的两根分别为1，4，所以有或又a，3，5，7的平均数是b.5\n即＝b，＝b，a＋15＝4b，所以符合题意，则方差s2＝5.2．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得80分却记成了50分，乙实际得70分却记成了100分，更正后平均分为________，方差为________．解析：因为甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.答案：70 503．(2022·太原模拟)为了考察某厂2000名工人的生产技能情况，随机抽查了该厂n名工人某天的生产产量(单位：件)，整理后得到如图所示的频率分布直方图(产量的分组区间分别为[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30)，[30，35])，其中产量在[20，25)的工人有6名．(1)求这一天产量不小于25的工人人数；(2)工厂规定从产量低于20件的工人中选取2名工人进行培训，求这2名工人不在同一分组的概率．解：(1)由题意得，产量在[20，25)的频率为0.06×5＝0.3，所以n＝＝20.所以这一天产量不小于25的工人人数为(0.05＋0.03)×5×20＝8.(2)由题意得，产量在[10，15)的工人人数为20×0.02×5＝2，分别记为A，B，产量在[15，20)的工人人数为20×0.04×5＝4，分别记为a，b，c，d，则从产量低于20件的工人中选取2名工人的结果为：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15种．其中2名工人不在同一分组的结果为(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共8种，故所求概率P＝.4．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图，如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm5\n的同学被抽中的概率．解：(1)由茎叶图可知：甲班同学身高集中在162～179cm，而乙班同学身高集中在170～179cm，因此乙班的平均身高高于甲班．(2)甲＝＝170(cm)，甲班的样本方差s＝×[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)．(3)记“身高为176cm的同学被抽中”为事件A.从乙班10名同学中抽出2名身高不低于173cm的同学有：(173，176)，(173，178)，(173，179)，(173，181)，(176，178)，(176，179)，(176，181)，(178，179)，(178，181)，(179，181)，共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件，故P(A)＝＝.5
