2022届大纲版数学高考名师一轮复习教案6.4不等式的证明II一、明确复习目标1.掌握反证法、数学归纳法和放缩法的一些策略技巧；2.了解换元法、判别式法、数形结合、构造法，了解不等式证明方法的多样性和灵活性.提高分析问题,解决问题的能力.二．建构知识网络1.反证法：正难那么反.否认结论，导出矛盾，证实结论的否认是错误的，从而肯定原结论正确。2.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小,利用不等式的传递性证明不等式.常用的放缩手法有：①添加或舍去一些项，如：；；②将分子或分母放大（或缩小）③利用根本不等式，绝对值不等式,a2≥0等;④假设a>b>0,m>0,那么.3.换元法：换元的目的是减少不等式中的变量，或者化繁为简.常用的换元有三角换元和代数换元.换元法必须注意新变元的取值范围.4.构造法：通过构造函数、方程或几何图形,利用相关知识来证明不等式；5.数学归纳法法:证明与正整数有关的不等式6.利用函数的单调性.利用单调函数中自变量大小与函数值之间的联系.要特别重视这种方法,因为高考中常把不等式综合在函数、数列或其它数学问题之中。三、双基题目练练手1.已知a、b是不相等的正数，x=，y=，那么x、y的关系是()10/10\nA.x＞yB.y＞xC.x＞yD.不能确定2.设M=a+（2＜a＜3），N=log（x2+）（x∈R），那么M、N的大小关系是A.M＞NB.M=NC.M＜ND.不能确定3.（2022春北京）假设不等式（－1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，那么实数a的取值范围是()A.［－2，）B.（－2，）C.［－3，）D.（－3，）4.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），那么an+1与bn+1的大小关系是____________.5.假设a＞b＞c，那么+_______.（填“＞”“=”“＜”）6.记S=，那么S与1的大小关系是_________简答:1-3.BAA;3.当n为正偶数时，a＜2－，2－为增函数，∴a＜2－=.当n为正奇数时，－a＜2+，a＞－2－.而－2－为增函数，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，）答案：A4.an+1=≥==bn+1.答案：an+1≥bn+15.a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］≥4.∴+≥＞.答案：＞;6.S<1四、经典例题做一做【例1】已知a，b∈R，且a+b=1求证：证法一：比较法，作差消b,化为a的二次函数。也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同。证法二：（放缩法）∵10/10\n∴左边＝＝右边证法三：（均值换元法）∵，所以可设，，∴左边＝＝右边当且仅当t=0时，等号成立点评：形如a+b=1构造式的条件，一般可以采用均值换元证法四：（判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故◆温馨提示:注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.【例2】（1）设，且，求证：；（2）设，且，求证：【证明】（1）设那么，=。（2）设，∵，∴。10/10\n于是。【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.求证：－1＜.证法一：要证－1＜，即证a＜（+1）n.令a－1=t＞0，那么a=t+1.也就是证t+1＜（1+）n.∵（1+）n=1+C+…+C（）n＞1+t，即－1＜成立.证法二：设a=xn，x＞1.于是只要证＞x－1，即证＞n.联想到等比数列前n项和=1+x+…+xn-1>n.∴＞n.【例4】已知(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：x>y>0,有f(x+y)<f(x)+f(y);（3）假设求证：解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,（2）∵∴10/10\n而另法:⑶∴点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值.【研讨.欣赏】数列｛an｝满足a1=1且an+1=（n≥1）（1）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）；（2）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜e2（n≥1），其中无理数e=2.71828…．证明:（1）①当n=2时，a2=2≥2，不等式成立．②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2（k≥2），那么ak+1=≥2．这就是说，当n=k+1时不等式成立．根据①、②可知：ak≥2对所有n≥2成立．10/10\n（2）由递推公式及（1）的结论有an+1=≤，（n≥1）两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln+lnan≤lnan+．故lnan+1－lnan≤，（n≥1）．上式从1到n－1求和可得lnan－lna1≤++…++++…+=1－++…=1－+1＜2，即lnan＜2，故an＜e2（n≥1）．五．提炼总结以为师1．高考中一般不出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以，除掌握常用的三种方法外，还需了解其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.2．总结所学不等式证明的方法：同步练习6.4不等式的证明II【选择题】1.假设＜＜0，那么以下结论不正确的选项是()A.a2＜b2B.ab＜b2C.+＞2D.|a|+|b|＞|a+b|2.已知a＞b＞c＞0，假设P=，Q=，那么()A.P≥QB.P≤QC.P＞QD.P＜Q3.（2022天津）已知＜＜，那么()A．2b＞2a＞2cB．2a＞2b＞2cC．2c＞2b＞2aD．2c＞2a＞2b4.(2022江西）已知实数a、b满足等式以下五个关系式：①0<b<a②a<b<0③0<a<b④b<a<0⑤a=b其中不可能成立的关系式有（）10/10\nA．1个B．2个C．3个D．4个【填空题】5.设实数x、y满足y＋x2＝0，0＜a＜1.那么P=loga（ax＋ay）与Q=loga2＋的大小关系是___________（填“＞”“=”“＜”）.6.已知不等式对n∈N+都成立，那么实数M的取值范围是__________。简答.提示：1-4.ADAB;5.ax＋ay≥2＝2.∵x－x2＝－（x－）2≤，0＜a＜1，∴ax＋ay≥2＝2a.∴loga（ax＋ay）＜loga2a＝loga2＋.即P<Q;6.记,那么,最大.M>1【解答题】7．已知，求证：都属于。【证明】由已知得：，代入中得：∵，∴△≥0，即解得，即y∈。同理可证x∈，z∈。8.设，且，求证：因为，而所以，所以a，b为方程（1）的二实根而，故方程（1）有均大于c的二不等实根。记，那么10/10\n解得。法2:由已知得c<0, 否那么,由(a+b+c)2=1得A2+b2+c2=1-2(ab+bc+ac)<1,与已知矛盾.又a+b=1-c代入c2=1-(a2+b2)得3c2-2c-1<0,9.假设a>0,b>0，且=1,求证：(I)a＋b≥4;(II)对于一切n∈N*,(a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立证明：(I)=1,a＋b=()(a＋b)=1＋＋＋1≥4,(II)当n=1时,左式＝0，右式＝0，∴n=1时成立.假设n=k时成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1,.那么当n=k＋1时，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1=(a＋b)(a＋b)k－ak＋1－bk＋1≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1)－ak＋1－bk＋1=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)≥2·2k＋1＋4·22k－4·2k＋1=22k＋2－2k＋2,∴n=k＋1时命题成立.归纳原理知,不等式对一切n∈N*都成立10.已知a、b为正数，求证：（1）假设+1＞，那么对于任何大于1的正数x，恒有ax+＞b成立；（2）假设对于任何大于1的正数x，恒有ax+＞b成立，那么+1＞.分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：①证明过程中代入条件；②由条件变形得出要证的不等式.证明：（1）ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2.∵+1＞（b＞0），∴（+1）2＞b.从而ax+＞b（2）∵ax+＞b对于大于1的实数x恒成立，即x＞1时，［ax+］min＞b，而ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，当且仅当a（x－1）=，即x=1+＞1时取等号.10/10\n故［ax+］min=（+1）2.那么（+1）2＞b，即+1＞.评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除.【探索题】（2022湖北）已知不等式,其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足（Ⅰ）证明（Ⅱ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有解：（Ⅰ）证法1：∵当即于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n≥3时有，∵证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式（i）当n=3时，由10/10\n知不等式成立.（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即那么即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得（Ⅱ）∵那么有故取N=1024，可使当n>N时，都有10/10
