2022届大纲版数学高考名师一轮复习教案6.1不等式的性质第六章不等式总览知识构造网络6.1不等式的性质一、明确复习目标掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些性质解决一些简单问题二．建构知识网络1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b；；；．以此可以比较两个数（式）的大小，——作差比较法．或作商比较：a>0时,；a<0时,.2．不等式的性质：（1）对称性:，证明：（比较法）（2）传递性:，（3）可加性:.移项法那么:推论：同向不等式可加.（4）可乘性:，8/8\n推论1：同向(正)可乘:证明：（综合法）推论2：可乘方(正):(5)可开方(正):证明：（反证法）不等式的性质有五个定理,三个推论,一个比较原理,是解、证不等式的根底，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进展条件的放宽和加强三、双基题目练练手1.(2022春上海)假设，那么以下不等式成立的是()A. .B..C..D..2.(2022北京）已知a、b、c满足，且，那么以下选项中不一定成立的是（）A．B．C．D．3.对于实数，下命题正确的选项是()A.假设a<b,那么.B.假设,那么.C.假设,那么.D.假设a>b>0,d>c>0,那么4.（2022春北京）已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A.0B.1C.2D.35.(2022辽宁)对于，给出以下四个不等式①②③④其中成立的是_________6.a＞b＞0，m＞0，n＞0，那么，，，的由大到小的顺序是____________.8/8\n练习简答:1-4.CCCD;5.②与④;6.特殊值法,答案：＞＞＞四、经典例题做一做【例1】已知a<2，<b≤2a，c＝b-2a，求c的取值范围．解：∵b≤2a∴c=b-2a≤0,∴b-4>-2a=．∴c的取值范围是：<c≤0．【例2】设f(x)=ax2+bx,且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(－2)的取值范围解：由已知1≤a－b≤2,①,2≤a+b≤4②假设将f(－2)=4a－2b用a－b与a+b,表示，那么问题得解设4a－2b=m(a－b)+n(a+b),(m,n为待定系数)即4a－2b=（m+n）a－(m－n)b,于是得得：m=3,n=1由①×3+②×1得5≤4a-2b≤10即5≤f(－2)≤10,另法：由得∴f(－2)=4a－2b=3f(－1)+f(1)……◆特别提醒:常见错解:由①②解出a和b的范围,再凑出4a－2b的范围.错误的原因是a和b不同时接近端点值,可借且于线性规划知识解释.【例3】(1)设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时，比较A与B的大小.(2)设0＜x＜1，a＞0且a≠，试比较|log3a（1－x）3|与|log3a（1+x）3|的大小.解:(1)A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）=x－n（x2n+1－x2n－1－x）=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］=x－n（x－1）（x2n－1－1）.由x∈R+，x－n＞0，得当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0；当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即x－1与x2n－1－1同号.∴A－B≥0.∴A≥B.8/8\n(2)∵0＜x＜1，所以①当3a＞1，即a＞时，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］=－3log3a（1－x2）.∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.②当0＜3a＜1，即0＜a＜时，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］=3log3a（1－x2）＞0.综上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.◆提炼方法：(1)作差分解因式、配方或利用单调性,分类判断差式的符号.【例4】已知函数，，试比较与的大小．解作差—=当时，得=。（2）当时，,所以①当时，得=。②当时，得>③当时，得<综上所述：当或时=。当且时>。当且时<。【研讨.欣赏】已知a>b>c，a+b+c=0方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1，x2（1）证明：－；8/8\n（1）假设x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22解：（1）a>b>c，a+b+c=0,∴且a>0，∴1>，(2)(方法1)a+b+c=0∴ax2+bx+c=0有一根为1，不妨设x1=1,那么由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0，而x2=x1x2=<0(3c<a+b+c=0)，∴x2=－1∴x12－x1x2+x22=3(方法2)x1+x2=－，x1x2=由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2－x1x2==1，∴∴x12－x1x2+x22=x12+x1x2+x22－2x1x2=1－2x1x2=1+五．提炼总结以为师1.熟练掌握准确运用不等式的性质。2.比较两数大小，一般用作差法。步骤：作差---变形(分解因式或配方)---判断符号3.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.同步练习6.1不等式的性质【选择题】1.(2022浙江)“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不允分也不必要条件2．（2022江西）假设,那么不等式等价于（）A.B.8/8\nC.D.3.(2022湖北)假设，那么以下不等式①；②③；④中，正确的不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4.“不等式a3+b3+c3≥3abc”成立的充要条件是()A.a+b+c≥0B.a+b+c≥0,3abc≥0C.a>0,b>0,c>0D.a≥0,b≥0,c≥0【填空题】5.已知a＞2，b＞2，那么a+b与ab的大小关系是__________.6.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，C=，D=那么A、B、C、D按从小到大的顺序排列起来是____________.简答.提示：1-4.ADBA;4.a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3abc(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2]≥0,<=>a+b+c≥05.解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.6.取特殊值a=－，计算可得A=，B=，C=，D=.∴D＜B＜A＜C.【解答题】7.设实数a,b,c满足①b+c＝6-4a+3a2,②c-b＝4-4a+a2，试确定a,b,c的大小关系.解:∵c-b＝(a-2)2≥0，∴c≥b,又2b＝2+2a2，∴b＝1+a2,∴b-a＝a2-a+1＝(a-)2+>0,∴b>a，从而c≥b>a.8.已知函数f(x)=x3+x证明:(1)f(x)是增函数;(2)假设a,b,c∈R,且,a+b>0,b+c>0,c+a>0,那么f(a)+f(b)+f(c)>0.证明:(1)设x1<x2f(x1)-f(x2)=x13+x1-x23-x2=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1)①当x1,x2同号时,①=(x1-x2)[(x1-x2)2+3x1x2+1)]<0当x1,x2异号时,①=(x1-x2)[(x1+x2)2-x1x2+1)]<0综上有f(x1)<f(x2),故f(x)是增函数.(2)∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.又a+b>0即a>-b∴f(a)>f(-b)=－f(b),即f(a)+f(b)>0.8/8\n同理,f(b)+f(c)>0,f(a)+f(c)>0.三式相加得2[f(a)+f(b)+f(c)]>0,所以f(a)+f(b)+f(c)>0成立.9.在等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3.试比较下面两组数的大小.(1)a2与b2.(2)(2)a5与b5.解:设an＝a1+(n-1)d,bn＝a1qn-1，依题意a1+2d＝a1q2,∴d＝a1q2-a1,∴(1)a2-b2＝a1+d-a1q＝a1-a1q+a１q2-a１＝aq2-a1q+１＝a(q-1)2，∵a1≠a3，∴a1≠a1+2d，即d≠0,q≠1,∴a2-b2＝a１(q-1)2>0,∴a2>b2.(2)a5-b5＝a1+4d-a1q4＝a1-a1q4+2a1q2-2a1＝-a1q4+2a1q2-a1＝-a1(q2-1)2<0,∴a5<b5.10.1+logx3与2logx2（x＞0且x≠1）的大小.解：（1+logx3）－2logx2=logx.当或即0＜x＜1或x＞时，有logx＞0，1+logx3＞2logx2.当①或②时，logx＜0.解①得无解，解②得1＜x＜，即当1＜x＜时，有logx＜0，1+logx3＜2logx2.当x=1，即x=时，有logx=0.∴1+logx3=2logx2.综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1+logx3＞2logx2；当1＜x＜时，1+logx3＜2logx2；当x=时，1+logx3=2logx2.【探索题】x、y是正实数,记A(x,y)=,B(x,y)=8/8\n(1)证明:A(x,y)≤B(x,y)(2)是否存在常数C,使得A(x,y)≤C≤B(x,y)恒成立?证明你的结论.证明:(1)B(x,y)－A(x,y)=∴A(x,y)≤B(x,y).(2)鉴于二式中关于x,y的轮换对称性,令x=y,得A(x,y)=B(x,y)=下证A(x,y)≤≤B(x,y)同理.所以,存在正常数C=,使A(x,y)≤C≤B(x,y)成立.(2)法2:(放缩法)8/8
