8．3抛物线方程及性质一、明确复习目标掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质,了解圆锥曲线的初步应用．二．建构知识网络1．抛物线的定义：到一个定点F的距离与到一条定直线L的距离相等的点的轨迹．2．标准方程：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0) 图形略： 3．几何性质：对于抛物线y2=2px要掌握如下性质：对称轴,顶点坐标,焦点坐标,准线方程．离心率,焦准距＝,焦半经 rmin＝4．焦点弦：对于y2=2px,过焦点的弦A(x1,y1)B(x2,y2)有，通径：过焦点垂直于轴的弦长为。5．焦半径为直径的圆与y轴相切,焦点弦为直径的圆与准线相切．三、双基题目练练手20/20\n1．(2022江苏)抛物线上的一点M到焦点的距离为1，那么点M的纵坐标是（）A．B．C．D．02．(2022上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，那么这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在3．焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是()A．y2=16xB．y2=16xC．x2=－8yD．以上说法都不对．4．过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，假设PF与FQ的长分别为p、q,那么等于()ABCD5．以以下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程是y=ax2+c（a＜0），D=（6，7）为x轴上的给定区间．为使物体落在D内，a的取值范围是___________；AxOy6720/20\n6．已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0,y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N那么点N的坐标是_____________（用x0表示）；简答：1-4．BBDC；4．考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,5．把点A的坐标（0，9）代入y=ax2+c得c=9，即运动物体的轨迹方程为y=ax2+9．令y=0，得ax2+9=0，即x2=－．假设物体落在D内，应有6＜＜7，解得－＜a＜－．6.N(x0+4,0)四、经典例题做一做【例1】给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值．解：设P（x0，y0）（x0≥0），那么y02=2x0，∴d=｜PA｜===．∵a＞0，x0≥0，∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，此时有x0=0时，dmin==a．（2）当a≥1时，1－a≤0，此时有x0=a－1时，dmin=．【例2】过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1，求∠A1FB1．20/20\n解法1：由抛物线定义及平行线性质知∠A1FB1=180°－（∠AFA1+∠BFB1）=180°－（180°－∠A1AF）－（180°－∠B1BF）=（∠A1AF+∠B1BF）=90°．法2：设弦AB的方程是：得,设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得y1y2=-p2又,∴从而知∠A1FB1=90°．提炼方法：1．平面几何法与定义法结合,简捷高效;2．弦AB的方程是：(此题不存在AB垂直于y轴的情况),避开了斜率存在性的讨论,解题中应注意灵活运用．【例3】如以以下图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等．假设△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．20/20\n解：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点．设曲线段C的方程为y2=2px（p>0）（xA≤x≤xB，y>0），其中xA、xB为A、B的横坐标，p=|MN|，所以M（－，0）、N（，0）．由|AM|=，|AN|=3，得（xA+）2+2pxA=17，①（xA－）2+2pxA=9．②①②联立解得xA=，代入①式，并由p>0，或解得p=4，p=2，xA=1xA=2．因为△AMN为锐角三角形，所以>xA．所以故舍去P=2，P=4，xA=2．xA=1．由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－=4．综上，曲线段C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y>0）．提炼方法：1．熟练运用定义确定曲线C是抛物线段;2．合理选择坐标系,确定标准方程;3．运用距离公式求出标准方程中的待定系数;4．特别注意范围的限定．20/20\n【例4】(2022全国卷Ⅲ)设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线．（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等．∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，∴上述条件等价于∵，∴上述条件等价于即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F．另解：（Ⅰ）∵抛物线，即，∴焦点为（1）直线的斜率不存在时，显然有（2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b即直线：y=kx+b由已知得：20/20\n即的斜率存在时，不可能经过焦点所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F（II）(理)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式即设AB的中点N的坐标为，那么由即得l在y轴上截距的取值范围为（）．法二:y1=2x12,y2=2x22,相减得,中点在抛物线内必【研讨．欣赏】(2022山东文)已知动圆过定点，且与直线相切，其中．20/20\n（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为（II）如图，设，由题意得。又直线的倾斜角满足，故。∴直线的斜率存在，否那么，的倾斜角。从而设直线的方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①由，得20/20\n。将①式代入上式整理化简，得：此时直线的方程可表示为：，即。∴直线恒过定点五．提炼总结以为师1．求抛物线方程的方法：待定系数法,定义法,直接法;2．涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时,要注意运用“设而不求”的策略,防止求交点坐标的复杂运算．3．解决焦点弦问题时，应注意抛物线的定义和焦点弦的几何性质应用，注意抛物线上的点,焦点,,准线三者之间的联系．同步练习8．3抛物线方程及性质【选择题】1．(2022全国)抛物线上一点A的纵坐标为4，那么点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．52已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是()ABCD20/20\n3．一个酒杯的轴截面为抛物线的一局部,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,那么玻璃球的半径的范围为()ABCD4．设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),那么与的大小关系为()ABCD不确定【填空题】5．抛物线的动弦AB长为,那么AB中点M到轴的最短距离是________6．对于顶点在原点的抛物线，给出以下条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________．（要求填写适宜条件的序号）简答提示：1－4：DCCC；2．把转化为M到准线的距离,然后求的最小值20/20\n3．设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y),列出转化为二次函数问题。4．向量解法：由A、F、B共线得(重要结论),进而得出5．可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短，答案6．由抛物线方程y2=10x可知②⑤满足条件．答案：②⑤【解答题】7．(2022春北京文)如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M（x1,y1）,N(x2,y2)两点．（1）求x1x2与y1y2的值；（2）求证：OM⊥ON．（Ⅰ）解：直线l的方程为①代入y2=2x消去y可得②点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，由韦达定理得20/20\n（Ⅱ）证明：设OM，ON的斜率分别为k1,k2,8．（本小题总分值14分）(2022年高考·广东卷17)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）．（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？假设存在，请求出最小值；假设不存在，请说明理由．解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),那么…（1）∵OA⊥OB，即， ……(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得∴，20/20\n所以重心为G的轨迹方程为．（II）由（I）得当且仅当即时，．所以△AOB的面积存在最小值，且最小值为1．9．（本小题总分值14分）(2022年春考·北京卷·理18)如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点．（1）写出直线的截距式方程；（2）证明：；（3）当时，求的大小．（Ⅰ）解：直线l的截距式方程为①（Ⅱ）证明：由①及y2=2px消去x可得②点M，N的纵坐标y1,y2为②的两个根，故20/20\n（Ⅲ）解：设OM，ON的斜率分别为k1,k2,10．（2000春全国）已知抛物线y2＝4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．分析：点M随着A、B两点的变化而变化，点M是OM与AB的交点，而A、B为抛物线上的动点，点M与A、B的直接关系不明显，因此需引入参数．解法一：设M（x0，y0），那么kOM=，kAB=－，直线AB方程是y=－（x－x0）+y0．由y2=4px可得x=，代入上式整理得x0y2－（4py0）y－4py02－4px02=0．①此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，20/20\n∴A（，y1）、B（，y2）．∵OA⊥OB，∴kOA·kOB=－1．∴·=－1．∴y1y2=－16p2．根据根与系数的关系，由①可得y1·y2=，∴=16p2．化简，得x02+y02－4px0=0，即x2+y2－4px=0（除去原点）为所求．∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．解法二：设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，由OM⊥AB得k=－．由y2=4px及y=kx+b消去y，得k2x2+x（2kb－4p）+b2=0．所以x1x2=．消去x，得ky2－4py+4pb=0．所以y1y2=．由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2，所以=－，b=－4kp．故y=kx+b=k（x－4p）．20/20\n用k=－代入，得x2+y2－4px=0（x≠0）．解法三：设点M的坐标为（x，y），直线OA的方程为y=kx，解得A点的坐标为（，），显然k≠0，那么直线OB的方程为y=－x．由y=kx，y2=4px，类似地可得B点的坐标为（4pk2，－4pk），从而知当k≠±1时，kAB==．故得直线AB的方程为y+4pk=（x－4pk2），即（－k）y+4p=x，①直线OM的方程为y=－（－k）x．②可知M点的坐标同时满足①②，由①及②消去k便得4px=x2+y2，即（x－2p）2+y2=4p2，但x≠0，当k=±1时，容易验证M点的坐标仍适合上述方程．故点M的轨迹方程为（x－2p）2+y2=4p2（x≠0），它表示以点（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆．【探索题】（2022辽宁）20/20\n已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足．设圆的方程为（I）证明线段是圆的直径;（II）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求P的值。（I）证法一：∵，∴，即，整理得．∴设点是以线段为直径得圆上得任意一点，那么即展开上式并将带入得故线段是圆的直径．证法二：同法一得：以AB为直径的圆的方程是，展开，并将①代入得20/20\n所以线段AB是圆C的直径（II）解法一：设圆的圆心为那么∵∴又∵＝0∴∴∵，∴,∴∴，所以圆心的轨迹方程为：=设圆心到直线的距离为，那么当时，有最小值，由题设得，∴解法二：同法一得：圆心的轨迹方程为：20/20\n设直线与的距离为，那么当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为，由②③消x得，由得（∵）解法三：设圆的圆心为，那么假设圆心到直线的距离为，那∵∴又∵，，∵，∴20/20\n∴当时，有最小值，由题设得，∴20/20
