8．4直线和圆锥曲线的位置关系一、明确复习目标1．掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题;2．会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题;3．会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法;4．会用弦长公式|AB|=|x2－x1|求弦的长；5．会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等．二．建构知识网络1．直线与圆锥曲线的位置关系主要是：公共点、相交弦或焦点弦问题以及它们的综合运用．2．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，运用韦达定理,中点公式,设而不求时必须Δ≥0,必须注意解的存在性和转化的等价性，用好化归与等价转化思想．当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，消元后得到的是一元一次方程,只有一个解,即直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点．3．涉及到圆锥曲线焦点弦、焦半径的问题，首先考虑第二定义和焦半径公式。4．涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题：相交弦的长，弦所在直线的方程、弦的中点的轨迹等，这可以利用“点差法”，“设而不求”、韦达定理、整体代入等方法求解。24/24\n5．弦长公式：圆锥曲线与直线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么弦长；与直线A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么弦长三、双基题目练练手1．(2022全国I)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，假设过点Q的直线l与抛物线有公共点，那么直线l的斜率的取值范围是（）A．[－，]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]2．(2022全国Ⅰ)抛物线上的点到直线距离的最小值是()ABCD3．(2022福建)已知双曲线的右焦点为F，假设过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是()（A） （B） （C） （D）24/24\n4．(2022山东)已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，那么的最小值是。5．(2022上海)假设曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，那么、分别应满足的条件是6．双曲线－=1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积等于________．．简答：1-3。CAC;4．32;5．作出函数的图象，如以下图：所以，；6．设P（x0，y0）那么d1·d2=·==四、经典例题做一做【例1】求过点（0，2）的直线被椭圆x2＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程．解：设直线方程为y=kx+2，把它代入x2＋2y2＝2，整理得（2k2＋1）x2+8kx+6=0．24/24\n要使直线和椭圆有两个不同交点，那么Δ＞0，即k＜－或k＞．设直线与椭圆两个交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），中点坐标为C（x，y），那么x＝＝，y=+2＝．（k＜－或k＞），从参数方程x=，y=消去k得x2＋2（y－1）2＝2，且｜x｜＜，0＜y＜．【例2】(2022江西文)如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．（1）假设M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）假设M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．MABFEOyx解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)那么直线MF的斜率为－k，24/24\n消所以直线EF的斜率为定值（2）同理可得设重心G（x,y），那么有24/24\n【例3】（2022浙江）如图，椭圆＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=．(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段的中点，求证：∠ATM=∠AFT．ABFFMTOyx解：（I）过点、的直线方程为因为由题意得有惟一解，即有惟一解，所以（），故又因为即所以24/24\n从而得故所求的椭圆方程为（II）由（I）得故从而由解得所以因为又得因此【例4】已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B．（1）假设｜k｜≤，求椭圆C的离心率的取值范围；（2）假设k=，A、B到右准线距离之和为，求椭圆C的方程．24/24\n解：（1）设右焦点F2（c，0），那么l：y=k（x－c）．令x=0，那么y=－ck，∴P（0，－ck）．∵B为F2P的中点，∴B（，－）．∵B在椭圆上，∴＋＝1．∴k2＝·＝（－1）（4－e2）＝＋e2－5．∵｜k｜≤，∴＋e2－5≤．∴（5e2－4）（e2－5）≤0．∴≤e2＜1．∴≤e＜1．（2）k＝，∴e＝．∴＝．∴a2＝c2，b2＝c2．椭圆方程为＋＝1，即x2＋5y2＝c2．直线l方程为y=（x－c），B（，－c），右准线为x=c．设A（x0，y0），那么（c－x0）＋（c－）＝，∴x0＝2c－，y0＝（c－）．∵A在椭圆上，∴（2c－）2＋5［（c－）］2＝c2．24/24\n解之得c=2或c＝（不合题意，舍去）．∴椭圆方程为x2＋5y2＝5，即＋y2＝1．【研讨．欣赏】(2022山东)双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。（1）求双曲线C的方程；（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。解：（Ⅰ）设双曲线方程为由椭圆求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线解得，双曲线的方程为PBQAOxy（Ⅱ）解法一：24/24\n由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程：，那么在双曲线上，同理有：假设那么直线过顶点，不合题意．是二次方程的两根．，此时．所求的坐标为．解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零24/24\n设的方程，，那么．，分的比为．由定比分点坐标公式得下同解法一解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程：，那么．，．，，，又，即将代入得24/24\n，否那么与渐近线平行。。解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，那么,。同理．即。（*）24/24\n又消去y得．当时，那么直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。由韦达定理有：代入（*）式得所求Q点的坐标为。五．提炼总结以为师1．解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，一般是消元得到一元二次方程，再讨论二次项的系数和判别式Δ，有时借助图形的几何性质更为方便．2．涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否那么不宜用此法．3．求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式d=＝．再结合韦达定理,设而不求整体解决．焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化．4．24/24\n涉及到圆锥曲线焦点弦、焦半径问题，可以利用焦半径公式或圆锥曲线的第二定义，应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法．同步练习8．4直线和圆锥曲线的位置关系【选择题】1．假设双曲线x2－y2＝1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，那么a+b的值为（）A．－B．C．±D．±22．已知对k∈R，直线y－kx－1=0与椭圆+=1恒有公共点，那么实数m的取值范围是A．（0，1）B．（0，5）C．［1，5）∪（5，+∞）D．［1，5）3．（2022辽宁）直线与曲线的公共点的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）44．直线y=x+3与曲线（）A．没有交点B．只有一个交点C．有两个交点D．有三个交点【填空题】5．已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，那么l的方程是____________．6．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=8，O为坐标原点，那么△OAB的重心的横坐标为________．24/24\n简答提示：1-4．BCDD;1．P（a，b）点在双曲线上，那么有a2－b2=1，即（a+b）（a－b）=1．d==，∴|a－b|=2．又P点在右支上，那么有a>b，∴a－b=2．∴|a+b|×2=1，a+b=．2．直线y－kx－1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点．所以，≤1且m＞0，得m≥1．故此题应选C．4．当x>0时，双曲线的渐近线为：，而直线y=x+3的斜率为1，1<3/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又y=x+3过椭圆的顶点，k=1>0因此直线与椭圆左半局部有一交点，共计3个交点，选D5．设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==－=－=－．由点斜式可得l的方程为x+2y－8=0．答案：x+2y－8=06．设过焦点F（1，0）的直线为y=k（x－1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线方程消去y得k2x2－2（k2+2）x+k2=0．∵k2≠0，∴x1+x2=，24/24\n|AB|=x1+x2+2=8,x1+x2=6．可得k2=1．∴△OAB的重心的横坐标为x==2．．法2：由|AB|==8，得k2=1…．．【解答题】7．正方形ABCD中，一条边AB在直线y=x+4上，另外两顶点C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积．解：设CD所在直线的方程为y=x+t，消去y得∵y=x+t，y2=x，x2+（2t－1）x+t2=0，∴｜CD｜＝＝．又直线AB与CD间距离为｜AD｜＝，∵｜AD｜＝｜CD｜，∴t=－2或－6．从而边长为3或5．面积S1＝（3）2＝18，S2=（5）2=50．8．(2022上海)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；24/24\n（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2)当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－)∴=3；当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，由得又∵，∴，综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0)该命题是假命题例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)24/24\n9．已知抛物线C：y2=4（x－1），椭圆C1的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合．（1）设B是椭圆C1短轴的一个端点，线段BF的中点为P，求点P的轨迹C2的方程；（2）如果直线x+y=m与曲线C2相交于不同两点M、N，求m的取值范围．（1）解法一：由y2=4（x－1）知抛物线C的焦点F坐标为（2，0）．准线l的方程为x=0．设动椭圆C1的短轴的一个端点B的坐标为（x1，y1）（x1＞2，y1≠0），点P（x，y），∴那么x=，x1=2x－2，y=，y1=2y．∴B（2x－2，2y）（x＞2，y≠0）．设点B在准线x=0上的射影为点B′，椭圆的中心为点O′，那么椭圆离心率e=，由=，得=，整理，化简得y2=x－2（y≠0），这就是点P的轨迹方程．解法二：抛物线y2=4（x－1）焦点为F（2，0），准线l：x=0．设P（x，y），∵P为BF中点，∴B（2x－2，2y）（x＞2，y≠0）．设椭圆C1的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，那么c=（2x－2）－2=2x－4，b2=（2y）2=4y2，∵（－c）－（－）=2，∴=2，即b2=2c．∴4y2=2（2x－4），即y2=x－2（y≠0），此即C2的轨迹方程．（y≠0），得y2+y－m+2=0，令Δ=1－4（－m+2）＞0，解得（2）解：由x+y=m，24/24\ny2=x－2m＞．而当m=2时，直线x+y=2过点（2，0），这时它与曲线C2只有一个交点，∴所求m的取值范围是（，2）∪（2，+∞）．10．（2022北京）已知点，动点满足条件．记动点的轨迹为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）假设是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值．解法一：（Ⅰ）由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=．又半焦距c=2。故虚半轴长b=，所以W的方程为（Ⅱ）设A、B的坐标分别为（x1y1），（x2y2）．当轴时，，从而。当与轴不垂直时，设直线的方程为，与的方程联立，消去得，24/24\n故所以又因为，所以，从而．综上，当轴时，取得最小值2．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设、的坐标分别为，那么令，那么，且，，所以当且仅当，即时“=”成立．24/24\n所以的最小值是2．【探索题】(2022安徽)如图，为双曲线的右焦点，为双曲线右支上一点，且位于轴上方，为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。（Ⅰ）写出双曲线的离心率与的关系式；（Ⅱ）当时，经过焦点且平行于的直线交双曲线于两点，假设，求此时的双曲线方程。（Ⅰ）解法1：设M′为PM与双曲线右准线的交点，F（c，0），那么yMPOFxM/即解法2：设为与双曲线右准线的交点，N为左准线与x轴的交点．24/24\n由于在双曲线右支上，那么①②由得③将①、②代入③得再将代入上式，得化简，得④由题意，点P位于双曲线右支上，从而于是即又所以由④式得（Ⅱ）解：当时，由解得从而，由此得双曲线得方程是24/24\n下面确定的值解法1：设双曲线左准线与x轴的交点为N，P点的坐标为（），那么，由于P在双曲线的右支上，且位于x轴上方，因而，所以直线OP的斜率为设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为A、B，那么直线AB的斜线为，直线AB的方程为将其代入双曲线方程整理得，24/24\n＝由得，于是，所求双曲线得方程为解法2．由条件知为菱形，其对角线OP与FM互相垂直平分，其交点Q为OP得中点24/24
