8．5圆锥曲线综合应用一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质4．了解圆锥曲线的初步应用，掌握处理圆锥曲线综合问题的常用方法．二．建构知识网络解析几何是以数来研究形的学科，就是数形结合的学科；解析法就是通过坐标、方程所反映的数量间的关系和特征，来研究图形的几何性质。圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题；有圆锥曲线科内综合，还有与代数、三角、几何、向量等学科间的综合。复习中应注意掌握解析几何的常用方法，如求曲线方程的方法、研究位置关系的方法、求范围与最值的方法等，通过问题的解决，进一步培养函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。三、双基题目练练手1．(2022北京)设，“”是“曲线为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．已知双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点，双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点，那么此双曲线的方程是( )21/21\nA． B． C． D．3．(2022江苏)已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足 ＝0，那么动点P（x，y）的轨迹方程为（ ）（A） （B） （C） （D）4．（2022江西）为双曲线的右支上一点,、分别是圆上的点,那么的最大值为（ ）A．6B．7C．8D．95．(2022山东)设直线关于原点对称的直线为，假设与椭圆的交点为A、B，点为椭圆上的动点，那么使的面积为的点的个数为______．6．直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，假设AB的中点为M，那么直线l的方程是________．简答：1-４．BCBD； 21/21\n４．设左焦点为F1，右焦点为F2，由双曲线定义和三角形边的关系得：，选D５．２； ６．+=1，+=1．相减得∴=－·．又∵M为AB中点，x1+x2=2，y1+y2=2．∴直线l的斜率为－．得直线l的方程为3x+4y－7=0．四、经典例题做一做【例1】(2022福建)已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。解：（I）圆过点O、F，圆心M在直线上。设那么圆半径xylGABFO由得21/21\n解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点那么的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为【例2】(2022天津)如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．21/21\n（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，证明．（Ⅰ）证明：由题设条件知，∽故，即因此， ①解：在中．于是，直线OA的斜率．设直线BF的斜率为，那么．这时，直线BF与轴的交点为(Ⅱ)证明：由（Ⅰ），得直线BF得方程为且②由已知，设、，那么它们的坐标满足方程组③21/21\n由方程组③消去，并整理得④由式①、②和④，由方程组③消去，并整理得⑤由式②和⑤，综上，得到注意到，得【例3】A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6km，C在B正北偏西30°，相距4km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A21/21\n距P地远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1km/s，A假设炮击P地，求炮击的方位角．解：如以以下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，那么PCyxABDOB（－3，0）、A（3，0）、C（－5，2）．因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．因为kBC=－，BC中点D（－4，），所以直线PD的方程为y－=（x+4）①又|PB|－|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上．设P（x，y），那么双曲线方程为－=1（x≥0）②联立①②，得x=8，y=5，所以P（8，5）．因此kPA==．故炮击的方位角为北偏东30°．【例4】(2022春上海)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线局部，降落点为．观测点同时跟踪航天器．21/21\n（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解（1）设曲线方程为，由题意可知，．．曲线方程为（2）设变轨点为，根据题意可知得，或（不合题意，舍去）．．得或（不合题意，舍去）．点的坐标为，．答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令．21/21\n【研讨．欣赏】（2022重庆）已知一列椭圆，。假设椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中、分别是的左、右焦点。（Ⅰ）试证：；（Ⅱ）取，并用表示的面积，试证：且证：（I）由题设及椭圆的几何性质有，故。设，那么右准线方程为．因此，由题意应满足即解之得：。即，从而对任意．（II）设点的坐标为，那么由及椭圆方程易知21/21\n。因，故的面积为，从而。令。由，得两根从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数。现在由题设取那么是增数列。又易知。故由前已证，知，且。说明:如果建立Sn与n的函数,讨论单调性比较复杂.五．提炼总结以为师1．解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。2．21/21\n对于求曲线方程中参数范围或最值问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解，还有Δ法,几何法,向量法等．3．解决圆锥曲线应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答．４．四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一．５．注意用好以下数学思想、方法：①数形结合思想；②方程与函数思想；③化归转化思想；④分类讨论思想；⑤对称思想；⑥主元与参数思想．此外，整体思想、正难那么反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法．在复习中必须给予足够的重视，真正发挥其联系知识、简化计算、提高能力中的作用．同步练习8．5圆锥曲线综合应用【选择题】1．（2022湖北）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，假设P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，那么点P到x轴的距离为 （ ）A．B．3C．D．2．(2022湖北)双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，那么mn的值为（ ）21/21\nA．B．C．D．3．（2022辽宁）曲线与曲线的( )A．焦距相等B．离心率相等C．焦点相同D．准线相同4．(2022湖北)设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，假设,且=1,那么P点的轨迹方程是（ ）A．3x2+y2=1(x>0,y>0)B．3x2-y2＝1（x>0,y>0）C．x2-3y2=1(x>0,y>0)D．x2+3y2=1(x>0,y>0)【填空题】5．(2022江苏卷)点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，那么这个椭圆的离心率为_______6．(2022江西)以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，，那么动点P的轨迹为双曲线；21/21\n②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，假设那么动点P的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）简答提示：１－４．DAAD； ５．； ６．③④．【解答题】7．已知椭圆的焦点是F1（－1，0）,F2（1，0）,P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项。（1）求椭圆方程；（2）假设点P在第三象限，且∠PF1F2=1200，求tan∠F1PF2。解：(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。∴2a=4，∴b=。∴椭圆方程为。(2)设∠F1PF2=θ,那么∠PF2F1=600－θ,由正弦定理并结合等比定理可得到,∴化简可得,∴,从而可求得tan∠F1PF2=。21/21\n思维点拨：解与△PF1F2有关的问题（P为椭圆上的点）常用正弦定理或余弦定理，并且结合|PF1|+|PF2|=2a来求解。8．(2022上海文)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m．0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．解：（1）抛物线y2=2px的准线为∴抛物线方程为y2=4x．（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），又∵F（1，0），∴那么FA的方程为y=（x－1），MN的方程为解方程组21/21\n（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2．当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，当m≠4时，直线AK的方程为即为圆心M（0，2）到直线AK的距离，令时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当时，直线AK与圆M相交．9．（2022上海）如以以下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22m，要求通行车辆限高4．5m，隧道全长2．5km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．（1）假设最大拱高h为6m，那么隧道设计的拱宽l是多少？（2）假设最大拱高h不小于6m，那么应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为底面积乘以高．此题结果均准确到0．1m）22l4.5h(单位m):（1）解：如以以下图建立直角坐标系，那么点P（11，4．5），椭圆方程为+=1．将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时l=2a=≈33．3．因此隧道的拱宽约为33．3m．21/21\n（2）解法一：由椭圆方程+=1，得+=1．因为+≥，即ab≥99，且l=2a，h=b，所以S=lh=≥．当S取最小值时，有==，得a=11，b=．此时l=2a=22≈31．1，h=b≈6．4．故当拱高约为6．4m、拱宽约为31．1m时，土方工程量最小．解法二：由椭圆方程+=1，得+=1．于是b2=·．a2b2=（a2－121++242）≥（2+242）=81×121，即ab≥99，当S取最小值时，有a2－121=．得a=11，b=，以下同解法一．10(2022四川)已知两定点满足条件的点P21/21\n的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A、B两点如果且曲线E上存在点C，使求解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知yACBOx故曲线的方程为设，由题意建立方程组消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有解得又∵依题意得整理后得21/21\n∴或但∴故直线的方程为设，由已知，得∴，又，∴点将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意∴，点的坐标为到的距离为∴的面积【探索题】（2022春全国）已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且｜F1B｜＋｜F2B｜＝10．椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差数列．（1）求该椭圆的方程；21/21\n（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．yxFF12ABBC'O（1）解：由椭圆定义及条件知2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，得a＝5．又c＝4，所以b＝＝3．故椭圆方程为＋＝1．（2）解：由点B（4，yB）在椭圆上，得｜F2B｜＝｜yB｜＝．方法一：因为椭圆右准线方程为x＝，离心率为．根据椭圆定义，有｜F2A｜＝（－x1），｜F2C｜＝（－x2）．由｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差数列，得（－x1）＋（－x2）＝2×．由此得出x1＋x2＝8．设弦AC的中点为P（x0，y0），那么x0＝＝＝4．方法二：由｜F2A｜、｜F2B｜、｜F2C｜成等差数列，得＋＝2×，①由A（x1，y1）在椭圆＋＝1上，得y12＝（25－x12），所以=21/21\n＝＝（25－4x1）②同理可得＝（25－4x2）③将②③代入①式，得（25－4x1）＋（25－4x2）＝．所以x1＋x2＝8．设弦AC的中点为P（x0，y0），那么x0＝＝＝4．（3）解法一：由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得9x12＋25y12＝9×25，④9x22＋25y22＝9×25．⑤由④－⑤得9（x12－x22）＋25（y12－y22）＝0，即9（）＋25（）（）＝0（x1≠x2）．将＝x0=4，＝y0，＝－（k≠0）代入上式，得9×4＋25y0（－）＝0（k≠0）．由上式得k＝y0（当k＝0时也成立）．由点P（4，y0）在弦AC的垂直平分线上，得y0＝4k＋m，所以m＝y0－4k＝y0－y0＝－y0．由P（4，y0）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，得－＜y0＜．所以－＜m＜．21/21\n评述：在推导过程中，未写明“x1≠x2”“k≠0”“k＝0时也成立”及把结论写为“－≤m≤”也可以．解法二：因为弦AC的中点为P（4，y0），所以直线AC的方程为y－y0＝－（x－4）（k≠0）．⑥将⑥代入椭圆方程+＝1，得（9k2＋25）x2－50（ky0＋4）x＋25（ky0＋4）2－25×9k2＝0．所以x1＋x2＝＝8．解得k＝y0（当k＝0时也成立）．以下步骤同解法一．21/21
