组合增分练6 解答题组合练B1.已知点P(3,1),Q(cosx,sinx),O为坐标原点,函数f(x)=OP·QP.(1)求函数f(x)的最小值及此时x的值;(2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,△ABC的面积为334,求△ABC的周长.2.已知函数f(x)=cosωx-π3-cosωx(x∈R,ω为常数,且1<ω<2),函数f(x)的图象关于直线x=π对称.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,f35A=12,求△ABC面积的最大值.3.《环境空气质量标准》中规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2022年20天PM2.5的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如表:组别PM2.5浓度(微克/立方米)频数(天)频率第一组(0,25]30.15第二组(25,50]120.6第三组(50,75]30.15第四组(75,100]20.1(1)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;(2)将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.①求图中a的值;②求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.4\n4.某校为指导学生合理选择文理科的学习,根据数理综合测评成绩,按6分为满分进行折算后,若学生成绩小于m分则建议选择文科,不低于m分则建议选择理科(这部分学生称为候选理科生).现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合成绩作为样本,整理得到分数的频率分布直方图(如图所示).(1)求直方图中的t值;(2)根据此次测评,为使80%以上的学生选择理科,成绩m至多定为多少?(3)若m=4,试估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩.(精确到0.01)5.已知函数f(x)=x-mlnx-m-1x(m∈R),g(x)=12x2+ex-xex.(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;(2)当m≤2时,若∃x1∈[e,e2],使得∀x2∈[-2,0],f(x1)≤g(x2)成立,求实数m的取值范围.6.设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的单调区间.(2)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,①求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;②若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.4\n组合增分练6答案1.解(1)由题意,OP=(3,1),QP=(3-cosx,1-sinx),∴f(x)=OP·QP=3-3cosx+1-sinx=4-2sinx+π3,∴当x=π6+2kπ,k∈Z时,f(x)取得最小值2.(2)∵f(A)=4,即4-2sinA+π3=4,可得A+π3=kπ,k∈Z,0<A<π,∴A=2π3.∵BC=3,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos2π3,即9=(b+c)2-bc.又△ABC的面积为334,即13bcsinA=334,可得bc=3,那么b+c=23,故得△ABC的周长为a+b+c=23+3.2.解(1)f(x)=cosωx-π3-cosωx=32sinωx-12cosωx=sinωx-π6,由函数f(x)的图象关于直线x=π对称,可得ωx-π6=kπ+π2(k∈Z),∴ω=k+23(k∈Z).∵ω∈(1,2),∴k=1,ω=53,∴f(x)=sin53x-π6,则函数f(x)最小正周期T=2π53=6π5.(2)由(1)知f35A=sinA-π6=12,∵0<A<π,∴-π6<A-π6<5π6,∴A-π6=π6,A=π3,由余弦定理及a=1,得1=b2+c2-2bccosπ3≥2bc-bc=bc,即bc≤1,∴S△ABC=12bcsinA=34bc≤34,∴△ABC面积的最大值为34.3.解(1)设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的3天为A1,A2,A3,PM2.5的24小时平均浓度在(75,100]内的2天为B1,B2.所以5天任取2天的情况有A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共10种.其中符合条件的有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共6种.所以所求的概率P=610=35.(2)①由第四组的频率为0.1得25a=0.1,解得a=0.004.②去年该居民区PM2.5年平均浓度为12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5(微克/立方米).因为42.5>35,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.4.解(1)根据频率分布直方图中频率和为1,得0.15×1+t×1+0.30×1+t×1+0.15×1=1,解得t=0.2.(2)使80%以上的学生选择理科,则0.15+0.2+0.3<0.8<0.15+0.2+0.3+0.2,满足条件的m值为2.(3)m=4时,计算4.5×0.2×1×500+5.5×0.15×1×5000.2×1×500+0.15×1×500≈4.93,估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩为4.93.5.解(1)由f(x)=x-mlnx-m-1x(x>0),得f'(x)=1-mx+m-1x2=(x-1)[x-(m-1)]x2,当m≤2时,f(x)在[1,e]上f'(x)≥0,∴f(x)是递增函数,∴f(x)min=f(1)=2-m.4\n当m≥e+1时,f(x)在[1,e]上f'(x)≤0,f(x)是递减函数,f(x)min=f(e)=e-m-m-1e.当2<m<e+1时,f(x)在[1,m-1]上f'(x)≤0,在[m-1,e]上f'(x)≥0,f(x)min=f(m-1)=m-2-mln(m-1).(2)已知等价于f(x1)min≤g(x2)min,由(1)知当m≤2时,f(x)在[e,e2]上f'(x)≥0,f(x)min=f(e)=e-m-m-1e,而g'(x)=x+ex-(x+1)ex=x(1-ex),当x2∈[-2,0],g'(x2)≤0,g(x2)min=g(0)=1,∴m≤2,e-m-m-1e≤1,故实数m的取值范围是e2-e+1e+1,2.6.(1)解由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f'(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].令f'(x)=0,解得x=a或x=4-a.由|a|≤1,得a<4-a.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,a)(a,4-a)(4-a,+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(4-a,+∞),单调递减区间为(a,4-a).(2)①证明因为g'(x)=ex(f(x)+f'(x)),由题意知g(x0)=ex0,g'(x0)=ex0,所以f(x0)ex0=ex0,ex0(f(x0)+f'(x0))=ex0,解得f(x0)=1,f'(x0)=0.所以,f(x)在x=x0处的导数等于0.②解因为g(x)≤ex,x∈[x0-1,x0+1],由ex>0,可得f(x)≤1.又因为f(x0)=1,f'(x0)=0.故x0为f(x)的极大值点,由(1)知x0=a.另一方面,由于|a|≤1,故a+1<4-a,由(1)知f(x)在(a-1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减,故当x0=a时,f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立,从而g(x)≤ex在[x0-1,x0+1]上恒成立.由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1.令t(x)=2x3-6x2+1,x∈[-1,1],所以t'(x)=6x2-12x,令t'(x)=0,解得x=2(舍去)或x=0.因为t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,因此,t(x)的值域为[-7,1].所以,b的取值范围是[-7,1].4
