组合增分练8 解答题型综合练A1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.(1)求sinCsinA的值;(2)若cosB=14,b=2,求△ABC的面积S.2.随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.年龄(单位:岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频 数510151055赞成人数51012721(1)若以“年龄”45岁为分界点,由以上统计数据完成下面2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关;年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合 计赞成不赞成合计(2)若从年龄在[25,35)和[55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求3人中至少有1人年龄在[55,65)的概率.参考数据如下:附临界值表:P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2的观测值:k=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d).6\n3.如图,在梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,CD=2,AD=AB=1,四边形BDEF为正方形,且平面BDEF⊥平面ABCD.(1)求证:DF⊥CE.(2)若AC与BD相交于点O,则在棱AE上是否存在点G,使得平面OBG∥平面EFC?并说明理由.4.已知抛物线y2=8x与垂直x轴的直线l相交于A,B两点,圆C:x2+y2=1分别与x轴正、负半轴相交于点P,N,且直线AP与BN交于点M.(1)求证:点M恒在抛物线上;(2)求△AMN面积的最小值.5.设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f'(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g1x的大小关系;(3)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<1a对任意x>0成立.6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3sinα-cosα,y=3-23sinαcosα-2cos2α(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsinθ-π4=22m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.7.已知函数f(x)=|x+2|-m,m∈R,且f(x)≤0的解集为[-3,-1].(1)求m的值;(2)设a,b,c为正数,且a+b+c=m,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.6\n6\n组合增分练8答案1.解(1)由正弦定理,设asinA=bsinB=csinC=k,则2c-ab=2ksinC-ksinAksinB=2sinC-sinAsinB,所以cosA-2cosCcosB=2sinC-sinAsinB,即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB.化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=π,所以sinC=2sinA.因此sinCsinA=2.(2)由sinCsinA=2得c=2a.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及cosB=14,b=2,得4=a2+4a2-4a2×14,解得a=1.从而c=2.又因为cosB=14,且0<B<π,所以sinB=154.因此S=12acsinB=12×1×2×154=154.2.解(1)根据条件得2×2列联表:年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成102737不赞成10313合计203050根据列联表所给的数据代入公式得到:K2=50×(10×3-27×10)220×30×37×13≈9.979>6.635,所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.(2)按照分层抽样方法可知[55,65)抽取6×510+5=2(人),[25,35)抽取6×1010+5=4(人).在上述抽取的6人中,年龄在[55,65)有2人,年龄在[25,35)有4人.年龄在[55,65)记为(A,B);年龄在[25,35)记为(a,b,c,d),则从6人中任取3名的所有情况为:(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,B,d),(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d)共20种情况,其中至少有一人年龄在[55,65)岁的情况有:(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,B,d),(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),共16种情况.记至少有一人年龄在[55,65)岁为事件A,则P(A)=1620=45.∴至少有一人年龄在[55,65)岁之间的概率为45.3.(1)证明连接EB,∵在梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,CD=2,AD=AB=1,∴BD=2,BC=2,∴BD2+BC2=CD2,∴BC⊥BD.∵平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,∴BC⊥平面BDEF,∴BC⊥DF.∵DF⊥EB,EB∩BC=B,6\n∴DF⊥平面BCE.∵CE⊂平面BCE,∴DF⊥CE.(2)解棱AE上存在点G,AGGE=12,使得平面OBG∥平面EFC.∵AB∥DC,AB=1,DC=2,∴AOOC=12.∵AGGE=12,∴OG∥CE.∵EF∥OB,OB⊄平面EFC,OG⊄平面EFC,∴OB∥平面EFC,OG∥平面EFC.∵OB∩OG=O,∴平面OBG∥平面EFC.4.(1)证明设A(x1,y1),B(x1,-y1)(x1>0),由题意,P(1,0),N(-1,0),直线AP的方程为(x1-1)y=y1(x-1),直线BN的方程为(x1+1)y=-y1(x+1),联立,解得x=1x1,y=-y1x1.∵y12=8x1,∴y2=8x,即点M恒在抛物线上.(2)解由(1)可得△AMN面积S=12|NP|(|y1|+|yM|)=|y1|+y1x1=|y1|+8y1≥42,当且仅当y1=±22,即A(1,±22)时取等号,△AMN面积的最小值为42.5.解(1)由题设知f(x)=lnx,g(x)=lnx+1x,∴g'(x)=x-1x2,令g'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,g'(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调增区间.因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点.所以最小值为g(1)=1.(2)g1x=-lnx+x.设h(x)=g(x)-g1x=2lnx-x+1x,则h'(x)=-(x-1)2x2.当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g1x,当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h'(x)<0,h'(1)=0.因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减,当0<x<1时,h(x)>h(1)=0,即g(x)>g1x,当x>1时,h(x)<h(1)=0,即g(x)<g1x.(3)由(1)知,g(x)的最小值为1,所以g(a)-g(x)<1a,对任意x>0成立⇔g(a)-1<1a,即lna<1,从而得0<a<e.6.解(1)曲线C1的参数方程为x=3sinα-cosα,y=3-23sinαcosα-2cos2α,消去参数,可得y=x2(-2≤x≤2).曲线C2的极坐标方程为ρsinθ-π4=22m,直角坐标方程为x-y+m=0.(2)联立直线与抛物线可得x2-x-m=0,∵曲线C1与曲线C2有公共点,∴m=x2-x=x-122-14,∵-2≤x≤2,∴-14≤m≤6.6\n7.解(1)由题意,|x+2|≤m⇔m≥0,-m-2≤x≤m-2,由f(x)≤0的解集为[-3,-1],得-m-2=-3,m-2=-1,解得m=1.(2)由(1)可得a+b+c=1,由柯西不等式可得(3a+1+3b+1+3c+1)(12+12+12)≥(3a+1+3b+1+3c+1)2,则3a+1+3b+1+3c+1≤32,当且仅当3a+1=3b+1=3c+1,即a=b=c=13时等号成立,故3a+1+3b+1+3c+1的最大值为32.6
