专题对点练12 3.1~3.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.已知cosx=34,则cos2x=( )A.-14B.14C.-18D.182.角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则tan2θ=( )A.2B.-4C.-34D.-433.函数y=3sin2x+cos2x的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π4.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=π6,a+b=12,则△ABC面积的最大值为( )A.8B.9C.16D.215.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin2A=3asinB,且c=2b,则ab等于( )A.32B.43C.2D.36.(2022天津,文6)将函数y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间-π4,π4上单调递增B.在区间-π4,0上单调递减C.在区间π4,π2上单调递增D.在区间π2,π上单调递减7.设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π248.已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin2x+2π3,则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C29.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是( )A.[6kπ,6kπ+3](k∈Z)B.[6kπ-3,6kπ](k∈Z)C.[6k,6k+3](k∈Z)D.[6k-3,6k](k∈Z)二、填空题(共3小题,满分15分)10.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则sinβ= . 11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,△ABC的面积为S,(a2+b2)tanC=8S,则sin2A+sin2Bsin2C= . 5\n12.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= . 三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.(2022浙江,18)已知角α的顶点与原点O重复,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-35,-45.(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值.14.已知函数f(x)=12cos22x+32sin2xcos2x+1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x∈0,π4时,求f(x)的最值.15.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosBb+cosCc=23sinA3sinC.(1)求b的值;(2)若cosB+3sinB=2,求a+c的取值范围.5\n专题对点练12答案1.D 解析cos2x=2cos2x-1=2×342-1=18.2.D 解析∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,∴tanθ=2.∴tan2θ=2tanθ1-tan2θ=-43,故选D.3.C 解析因为y=3sin2x+cos2x=232sin2x+12cos2x=2sin2x+π6,所以其最小正周期T=2π2=π.4.B 解析∵ab≤a+b22=36,当且仅当a=b=6时,等号成立,∴S△ABC=12ab·sinC≤12×36×12=9,故选B.5.C 解析由2bsin2A=3asinB,利用正弦定理可得4sinBsinAcosA=3sinAsinB,由于sinA≠0,sinB≠0,可得cosA=34,又c=2b,可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+4b2-2b·2b·34=2b2,则ab=2.故选C.6.A 解析将函数y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin2x-π10+π5=sin2x,该函数在-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z)上单调递增,在π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z)上单调递减,结合选项可知选A.7.A 解析由题意可知,2πω>2π,11π8-5π8≥14·2πω,所以23≤ω<1.所以排除C,D.当ω=23时,f5π8=2sin5π8×23+φ=2sin5π12+φ=2,所以sin5π12+φ=1.所以5π12+φ=π2+2kπ,即φ=π12+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=π12.故选A.8.D 解析曲线C1的方程可化为y=cosx=sinx+π2,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得曲线y=sin2x+π2=sin2x+π4,为得到曲线C2:y=sin2x+π3,需再把得到的曲线向左平移π12个单位长度.9.D 解析由函数与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,知函数的周期为T=2πω=24+82-2+42,得ω=π3,再由五点法作图可得π3·2+42+φ=π2,求得φ=-π2,∴函数f(x)=Asinπ3x-π2.令2kπ+π2≤π3x-π2≤2kπ+3π2,k∈Z,解得6k+3≤x≤6k+6,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为[6k-3,6k](k∈Z).10.13 解析由角α与角β的终边关于y轴对称,得α+β=2kπ+π,k∈Z,即β=2kπ+π-α,k∈Z,故sinβ=sin(2kπ+π-α)=sinα=13.11.2 解析∵(a2+b2)tanC=8S,∴a2+b2=4abcosC=4ab·a2+b2-c22ab,化简得a2+b2=2c2,5\n则sin2A+sin2Bsin2C=a2+b2c2=2.故答案为2.12.152 104 解析如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AE⊥BC,BF⊥CD.在Rt△ABE中,cos∠ABE=BEAB=14,∴cos∠DBC=-14,sin∠DBC=1-116=154.∴S△BCD=12×BD×BC×sin∠DBC=152.∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-14,且∠DBF为锐角,∴sin∠DBF=104.在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=104.综上可得,△BCD的面积是152,cos∠BDC=104.13.解(1)由角α的终边过点P-35,-45,得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.(2)由角α的终边过点P-35,-45,得cosα=-35,由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)·cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1665.14.解函数f(x)=12cos22x+32sin2x·cos2x+1=1212+12cos4x+34sin4x+1=12sin4x+π6+54.(1)f(x)的最小正周期T=2π4=π2.(2)当x∈0,π4时,4x+π6∈π6,7π6,则sin4x+π6∈-12,1.当4x+π6=7π6时,函数f(x)取得最小值为1,此时x=π4;当4x+π6=π2时,函数f(x)取得最大值为74,此时x=π12.∴当x∈0,π4时,函数f(x)的最大值为74,最小值为1.15.解(1)△ABC中,cosBb+cosCc=23sinA3sinC,∴a2+c2-b22abc+b2+a2-c22abc=23a3c,∴2a22abc=23a3c,解得b=32.(2)∵cosB+3sinB=2,5\n∴cosB=2-3sinB,∴sin2B+cos2B=sin2B+(2-3sinB)2=4sin2B-43sinB+4=1,∴4sin2B-43sinB+3=0,解得sinB=32.从而求得cosB=12,∴B=π3.由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=32sinπ3=1,∴a=sinA,c=sinC.由A+B+C=π,得A+C=2π3,∴C=2π3-A,且0<A<2π3.∴a+c=sinA+sinC=sinA+sin2π3-A=sinA+sin2π3cosA-cos2π3sinA=32sinA+32cosA=3sinA+π6,∵0<A<2π3,∴π6<A+π6<5π6,∴12<sinA+π6≤1,∴32<3sinA+π6≤3,∴a+c的取值范围是32,3.5
