专题对点练15 4.1~4.2组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.112.《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金箠重几何?”其意思为:今有金杖(粗细均匀变化)长5尺,截得本端1尺,重4斤,截得末端1尺,重2斤,则金杖重( )A.18斤B.15斤C.13斤D.20斤3.已知等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)24.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8=16,则S10等于( )A.18B.24C.30D.605.等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-196.(2022广东深圳耀华模拟)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an-2n,则a17=( )A.-15×216B.15×217C.-16×216D.16×2177.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( )A.3B.4C.5D.68.在等比数列{an}中,各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=( )A.9B.15C.18D.309.在递减等差数列{an}中,a1a3=a22-4.若a1=13,则数列1anan+1的前n项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613二、填空题(共3小题,满分15分)10.已知等比数列{an},a2a4=a5,a4=8,则{an}的前4项和S4= . 11.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,则a8的值为 . 12.(2022湖北重点高中协作体模拟)定义“等积数列”,在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,这个常数叫做该数列的公积.已知数列{an}是等积数列且a1=2,公积为10,则这个数列前21项和S21的值为 . 三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有3an=2Sn+3成立.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Tn.4\n14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足不等式Tn-22n-1>2010的n的最小值.15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,2Sn=(n+1)an.在数列{bn}中,bn=2an+1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列1an·log2bn的前n项和Tn.4\n专题对点练15答案1.A 解析由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故S5=5(a1+a5)2=5a3=5.2.B 解析由题意可知,在等差数列{an}中,a1=4,a5=2,则S5=(a1+a5)×52=(4+2)×52=15,故金杖重15斤.3.A 解析∵a2,a4,a8成等比数列,∴a42=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.∴Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.4.C 解析设等差数列{an}的公差为d≠0.由题意,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),即2a1+3d=0.①∵S8=16,∴8a1+8×72×d=16,②联立①②解得a1=-32,d=1.则S10=10×-32+10×92×1=30.5.C 解析设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.∵当q≠1时,S3=a1(1-q3)1-q=a1·q+10a1,∴1-q31-q=q+10,整理得q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=19.6.A 解析由题意可得an+12n+1=an2n-12,即an+12n+1-an2n=-12,据此可得,数列an2n是首项为a121=12,公差为-12的等差数列,故a17217=12+(17-1)×-12=-152,∴a17=-15×216.故选A.7.C 解析∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.∴d=am+1-am=3-2=1.∵Sm=ma1+m(m-1)2×1=0,∴a1=-m-12.又am+1=a1+m×1=3,∴-m-12+m=3.∴m=5.故选C.8.D 解析设等比数列{an}的公比为q>0,∵2S3=8a1+3a2,∴2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a1q2=6a1+a1q,即2q2-q-6=0,解得q=2.又a4=16,可得a1×23=16,解得a1=2.则S4=2×(1-24)1-2=30.9.D 解析设公差为d,则d<0.由题意,得13(13+2d)=(13+d)2-4,解得d=-2或d=2(舍去),∴an=a1+(n-1)d=15-2n.当an=15-2n≥0时,即n≤7.5;当an+1=13-2n≤0时,即n≥6.5.∴当n≤7时,an>0.∴1anan+1=1(15-2n)(13-2n)=1212n-15-12n-13,∴数列1anan+1的前n项和为121-13-1-11+1-11-1-9+…+12n-15-12n-13=12-113-12n-13,∴当n=6时,数列1anan+1的前n项和最大,最大值为12×-113+1=613,故选D.10.15 解析设等比数列{an}的公比为q,∵a2a4=a1q·a4=a1·a5=a5,∴a1=1.又a4=8,∴q3=8,∴q=2.故S4=1×(1-24)1-2=15.11.2 解析∵等比数列{an}的前n项和为Sn,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,∴2×a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q,a1q+a1q4=4,解得a1q=8,q3=-12,∴a8=a1q7=(a1q)(q3)2=8×14=2.4\n12.72 解析由数列{an}是等积数列,且a1=2,公积为10,根据等积数列的定义,得a2=5,a3=2,由此可以知道数列{an}的所有奇数项为2,所有偶数项为5.故这个数列前21项和S21=7×10+2=72.13.解(1)在3an=2Sn+3中,令n=1,得a1=3.当n≥2时,3an=2Sn+3,①3an-1=2Sn-1+3,②①-②得an=3an-1,∴数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n.(2)由(1)得bn=log3an=n,数列{bn}的前n项和Tn=1+2+3+…+n=n(n+1)2.14.(1)证明当n=1时,2a1=a1+1,∴a1=1.∵2an=Sn+n,n∈N*,∴2an-1=Sn-1+n-1,n≥2,两式相减,得an=2an-1+1,n≥2,即an+1=2(an-1+1),n≥2,∴数列{an+1}为以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2n,∴an=2n-1,n∈N*.(2)解bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)·2n,∴Tn=3×2+5×22+…+(2n+1)·2n,∴2Tn=3×22+5×23+…+(2n+1)·2n+1,两式相减可得-Tn=3×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n+1)·2n+1,∴Tn=(2n-1)·2n+1+2,∴Tn-22n-1>2010可化为2n+1>2010.∵210=1024,211=2048,∴满足不等式Tn-22n-1>2010的n的最小值为10.15.解(1)当n≥2时,由2Sn=(n+1)an,得2Sn-1=nan-1,两式相减得2an=(n+1)an-nan-1,整理得anan-1=nn-1.由an=anan-1·an-1an-2·…·a2a1=nn-1·n-1n-2·…·21·1=n(n≥2).又当n=1时,a1=1,∴an=n(n∈N*).由bn=2an+1=2n+1,∴{bn}的通项公式为bn=2n+1.(2)由(1)得1an·log2bn=1nlog22n+1=1n(n+1)=1n-1n+1.∴Tn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.故数列1an·log2bn的前n项和Tn=nn+1.4
