2.9幂函数、指数函数与对数函数【考纲解读】内容要求备注A B C 函数概念与基本初等函数Ⅰ 指数函数的图象与性质 √ 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型．3．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．4．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性．5．了解幂函数的概念．6．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，了解它们的变化情况．对数函数的图象与性质 √ 幂函数 √ 【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编]如果3x＝4，则x＝________．【解析】由指数式与对数式的互化规则，得x＝log34.2．[教材改编]2log510＋log50.25＝________．【解析】2log510＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.3．[教材改编]函数y＝log2(x2－1)的单调递增区间是________．【解析】由x2－1>0得x<－1或x>1.又函数y＝log2x在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(1，＋∞)．题组二 常错题4．函数y＝log(2x2－3x＋1)的单调递减区间为________．【解析】由2x2－3x＋1＞0，得x＞1或x＜，易知u＝2x2－3x＋1在(1，＋∞)上是增函数，所以原函数的单调递减区间为(1，＋∞)．-8-\n5．设a＝，b＝log9，c＝log8，则a，b，c的大小关系是________．【解析】a＝＝log9＝log9<log8＝c，a＝log9>log9＝b，所以c>a>b.题组三 常考题6．lg＋2lg2＋＝________．【解析】原式＝lg5－lg2＋2lg2＋5＝lg5＋lg2＋5＝1＋5＝6.7．设a＝log32，b＝log52，c＝log45，则a，b，c的大小关系是________________．8．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，若f(x)>f(2x－1)，则x的取值范围为________．【解析】由f(x)＝ln(1＋|x|)－可知f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(2x－1)，即f(|x|)>f(|2x－1|)，即|x|>|2x－1|，解得<x<1.【知识清单】1幂函数的概念、图象与性质常用幂函数的图象与性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数-8-\n单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减2指数函数的概念、图象与性质y＝axa>10<a<1图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【考点深度剖析】1.与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．2.关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．3.从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质．【重点难点突破】考点1幂函数的概念、图象与性质【1-1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？【答案】-8-\n【1-2】若幂函数y＝(m2－3m＋3)的图象不经过原点，则实数m的值为________．【答案】 1或2【解析】 由，解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合.【1-3】设，则a，b，c的大小关系是________．【答案】【解析】∵函数是增函数，∴，又∵函数是减函数，∴，∴.【思想方法】1.判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）幂系数为1.2..幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．【温馨提醒】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键.考点2指数函数的概念、图象与性质【2-1】若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.【答案】【2-2】设f(x)＝|3x－1|，c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，由在关系式①3c>3b；②3b>3a；③3c＋3a>2；④3c＋3a<2中一定成立的是 .【答案】④-8-\n【解析】作f(x)＝|3x－1|的图象如图所示，由图可知，要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，需有c<0且a>0，所以3c<1<3a，所以f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.又f(c)>f(a)，所以1－3c>3a－1，即3a＋3c<2，故填④.【思想方法】指数函数的底数中若含有参数，一般需分类讨论．指数函数与其他函数构成的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．【温馨提醒】一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解．考点3对数函数的概念、图象与性质【3-1】已知f(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)，若当x∈(－1，0)时，f(x)<0，则f(x)在定义域上单调性是 .【答案】增函数【解析】由于，即时，所以，因而在上是增函数．【3-2】已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性．【答案】（1）时，定义域为，时，定义域为；（2）时，增函数， 时，减函数．【解析】(1)由ax－1>0得ax>1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；-8-\n当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，故0<ax1－1<ax2－1，∴loga(ax1－1)<loga(ax2－1)．∴f(x1)<f(x2)．故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．【3-3】已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)；（2）存在，．【基础知识】a>10<a<1-8-\n图像定义域(0，＋∞)值域R定点过点(1,0)单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值正负当x>1时，y>0；当0<x<1，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0【思想方法】利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．【温馨提醒】解决对数型函数、对数型不等式问题,一定要注意定义域优先原则.【易错试题常警惕】由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到．如：若，则的取值范围是．【分析】由的图象关于轴对称知，函数在上是减函数，在上是增函数．因为，所以或或或，解得或或或，所以的取值范围是．【易错点】本题容易只考虑到，在同一单调区间的情况，不全面而致误．【练一练】已知幂函数f(x)＝x(m＋m)－1(m∈N＋)，经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围。-8-\n-8-
