幂函数必备知识基础练1.设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是( ) A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b答案C解析因为y=x0.5在区间(0,+∞)上是增函数,且0.5>0.3,所以0.50.5>0.30.5,即a>b.c=log0.30.2>log0.30.3=1,而1=0.50>0.50.5,所以b<a<c.2.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为( )A.m=2B.m=-1C.m=-1或m=2D.m≠答案A解析由题意可得,解得m=2.3.设函数y=x3与y=的图像的交点为(x0,y0),则x0所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B解析在同一平面直角坐标系内分别作出两个函数的图像如图所示,由图像得1<x0<2.4.已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图像与x轴、y轴都无交点,且关于原点对称,则函数f(x)的解析式是 . 答案f(x)=x-1解析∵函数f(x)的图像与x轴、y轴都无交点,5
∴m2-1<0,解得-1<m<1.∵f(x)的图像关于原点对称,且m∈Z,∴m=0,∴f(x)=x-1.5.若函数y=loga(2x-3)+的图像恒过定点P,且点P在幂函数f(x)=xα的图像上,则f(x)= ,f(9)= . 答案 3解析由题意有2x-3=1,解得x=2,此时y=,因此P(2,)满足f(x)=xα,则α=,所以f(x)=,f(9)==3.6.设函数f1(x)=,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则f1(f2(f3(2020)))= . 答案解析f1(f2(f3(2020)))=f1(f2(20202))=f1.7.设幂函数y=在区间(0,+∞)上是减函数,指数函数y=(a2-1)x在区间(-∞,+∞)上是增函数,对数函数y=lox在区间(0,+∞)上是减函数,求a的取值范围.解∵幂函数y=在区间(0,+∞)上是减函数,∴a2-3a<0.①∵y=(a2-1)x在区间(-∞,+∞)上是增函数,∴a2-1>1,即a2>2.②∵y=lox在区间(0,+∞)上是减函数,∴0<a2-2a+1<1,③解①②③,得<a<2.即a的取值范围为(,2).关键能力提升练8.函数y=-1的图像关于x轴对称的图像大致是( )5
答案B9.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在区间(0,+∞)上为增函数.若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( )A.恒等于0B.恒小于0C.恒大于0D.无法判断答案C解析函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,则m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=-1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上为减函数,排除;当m=2时,f(x)=x5,在(0,+∞)上为增函数,满足题意,所以f(x)=x5,函数f(x)为奇函数,故在R上单调递增.a+b>0,故a>-b,f(a)>f(-b)=-f(b),故f(a)+f(b)>0.10.(多选题)已知函数f(x)=xα的图像经过点(4,2),则下列命题正确的有( )A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x>1,则f(x)>1D.若0<x1<x2,则<f答案ACD解析将点(4,2)代入函数f(x)=xα,得2=4α,则α=.所以f(x)=,显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确.f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确.当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确.当0<x1<x2时,2-f2=2-2==-<0.即<f成立,所以D正确.5
11.已知α∈{-2,-1,-,1,2,3},若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= . 答案-112.已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)在区间(0,+∞)上单调递减.(1)求m的值,并写出f(x)的解析式;(2)试判断是否存在a>0,使得函数g(x)=(2a-1)x-+1在区间[-1,2]上的值域为[-4,11]?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.解(1)因为幂函数f(x)=(m2-2m-2)在区间(0,+∞)上单调递减,所以解得m=3或m=-1(舍去),所以f(x)=x-1.(2)由(1)得f(x)=x-1,所以g(x)=(a-1)x+1.假设存在a>0使得命题成立,则当a-1>0,即a>1时,g(x)在区间[-1,2]上单调递增,所以解得a=6;当a-1=0,即a=1,g(x)=1显然不成立;当a-1<0,即a<1,g(x)在区间[-1,2]上单调递减,所以a无解.综上所述,存在a=6使相应的结论成立.学科素养创新练13.已知幂函数f(x)=(m-1)2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.(1)求m的值;(2)当x∈[1,2)时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,设p:n∈A,q:n∈B,若p是q成立的必要条件,求实数k的取值范围.解(1)依题意得(m-1)2=1,解得m=0或m=2,当m=2时,f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去,当m=0时,f(x)=x2,满足题意.故m=0.(2)由(1)得f(x)=x2,当x∈[1,2)时,f(x)∈[1,4),即A=[1,4),当x∈[1,2)时,g(x)∈[2-k,4-k),即B=[2-k,4-k),若p是q成立的必要条件,则B⊆A,则解得0≤k≤1.5
即k的取值范围是[0,1].5
